沿三个坐标轴方向的分向量.ppt

第二节 矢量代数 * * 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; §6.2.1 矢量运算 1. 矢量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 2. 矢量的减法 三角不等式 3. 数量与矢量的乘法 ? 是一个数 , 规定 : 可见 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 空间一点在轴上的投影 4. 矢量的射影 空间一向量在轴上的投影 关于向量的投影定理（1） 证 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 5. 矢量的分解与矢量的坐标 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 6.矢量的模　方向余弦　方向数 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 记作 方向余弦的性质: 作业：p-25 习题6.1-6.2 10，18，　 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量 的夹角为? , 称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 §6.2.2 两矢量的数量积 记作 故 数量积的基本性质 为两个非零向量, 则有 2) 交换律 3) 结合律 4) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 例1. 证明三角形余弦定理 证: 则 如图 . 设 例2. 已知三点 ? AMB . 解: 则 求 故 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 §6.2.3 两矢量的矢量积 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ? ? 称 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S＝ 4. 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 2. 性质 为非零向量, 则 ∥ 5) 分配律 4) 结合律 证明: 4. 向量积的坐标表示式 设 则 向量积的行列式计算法 例4. 已知三点 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三