第六章参数估计.ppt

§6.2 点估计的评价标准 6.2.1 相合性 我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。但如果我们有足够的观测值，根据格里纹科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。 定义6.2.1 设? ∈Θ为未知参数， 是? 的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个ε0，有 (6.2.1) 则称 为? 参数的相合估计。 相合性被认为是对估计的一个最基本要求, 如果一个估计量, 在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度, 那么这个估计是很值得怀疑的。 通常, 不满足相合性要求的估计一般不予考虑。证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证. 若把依赖于样本量n的估计量 看作一个随机变量序列,相合性就是 依概率收敛于?,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。 在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。 定理6.2.1 设 是? 的一个估计量，若 则 是? 的相合估计， 例6.2.2 设 x1, x2 , …, xn 是来自均匀总体U(0, ? )的样本，证明? 的极大似然估计是相合估计。 证明：在例6.1.7中我们已经给出? 的极大似然估计是 x(n)。由次序统计量的分布，我们知道 x(n) 的分布密度函数为 p(y)=nyn-1/ n, y ?, 故有 由定理6.2.1可知，x(n)是? 的相合估计。 由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到： 矩估计一般都具有相合性。比如： 6.2.2 无偏性 定义6.2.2 设 是? 的一个估计， ? 的参数空间为Θ，若对任意的?∈Θ，有 则称 是? 的无偏估计，否则称为有偏估计。 例6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩? k的无偏估计。但对中心矩则不一样，譬如，由于 ，样本方差s*2不是总体方差? 2的无偏估计，对此，有如下两点说明： (1) 当样本量趋于无穷时，有E(s*2) ?? 2， 我们称 s*2 为? 2的渐近无偏估计。 (2) 若对s*2作如下修正： ， 则 s2 是总体方差的无偏估计。 例6.2.5 设总体为N(? ,? 2)，x1 , x2 , …, xn是样本，则s2是? 2的无偏估计，且可求出 这说明 s 不是? 的无偏估计. 利用修正技术可得 cn s 是? 的无偏估计，其中 是修偏系数. 可以证明，当n??时, 有cn?1. 这说明 s 是 ? 的渐近无偏估计。 6.2.3 有效性 定义6.2.3 设 是? 的两个无偏估计，如果对任意的? ∈Θ, 有 且至少有一个? ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称 比 有效。 例6.2.6 设 x1, x2 , …, xn 是取自某总体的样本，记总体均值为? ，总体方差为? 2，则 , , 都是? 的无偏估计，但 显然，只要 n1， 比 有效。这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。 例6.2.7 均匀总体U(0, ? )中? 的极大似然估计是x(n)，由于 ，所以x(n)不是? 的无偏估计，而是? 的渐近无偏估计。经过修偏后可以得到? 的一个无偏估计： 。且 另一方面，由矩法我们可以得到? 的另一个无偏估计 ，且 由此，当n1时， 比 有效。 6.2.4 均方误差 无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参数真值? 的距离平方的期望，这就是下式给出的均方误差 均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望估计的均方误差越小越