第九章曲线积分与曲面积分2.ppt

第二节 第二类曲线积分 (对坐标的曲线积分) 问题的提出 第二类曲线积分的概念 第二类曲线积分的计算 第九章 曲线积分与曲面积分 两类曲线积分之间的关系 小结 思考题 作业 变力沿曲线所作的功 常力沿直线所作的功 分割 一、问题的提出 第二类曲线积分 求质点从A移动到B时力 对它所作的功。 设 第二类曲线积分 它可近似地看作长度为 的有向线段， 并取 上任一点 处的切向量 的指向作为有向线段的方向。 取 取近似 求和 取极限 上式右端极限恰好是数量值函数 在曲线弧L上的第一类曲线积分， 故W可表为 第二类曲线积分 二、第二类曲线积分的概念 1. 定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条光滑的有向 曲线弧, 在L上有界， 第二类曲线积分 向量值函数 是定向曲线弧L上点 处的单位切向量， 如果第一类曲线积分 存在， 则称此积分为 向量值函数 在定向曲线弧L上的积分， 也称为 第二类曲线积分 对坐标的曲线积分, 或 记作 即 积分弧段 被积函数 第二类曲线积分 定向弧元素 第二类曲线积分 设平面曲线弧的单位切向量为 则 所以 2. 存在条件 在光滑曲线弧L上 第二类曲线积分存在. 连续, 第二类曲线积分 3. 推广 可类似定义三维向量值函数 在空间的定向光滑曲线 上的第二类曲线积分 4. 性质 L L1 L2 第二类曲线积分与 (1) 则 (2) 有向曲线弧, 则 曲线的方向有关. 第二类曲线积分 5. 注意 如L是封闭曲线, 还采用积分号 第二类曲线积分 两类曲线积分之间的关系 即 例 解 所以 把第二类曲线积分 化为第一类曲线积分, 其中L为沿抛物线 从点(0,0)到(1,1). 第二类曲线积分 第二类曲线积分与曲线的方向有关. 三、第二类曲线积分的计算 思想 因此下限应是起点的坐标, 化为定积分计算. 上限是终点的 坐标. 第二类曲线积分 定理 弧L上连续, 第二类曲线积分 设 在定向曲线 具有一阶连续 导数, 特殊情形 (1) (2) 则 则 第二类曲线积分 (3) 推广 第二类曲线积分 例 解 ⌒ ⌒ (1) 第二类曲线积分 (2) 第二类曲线积分 其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段. 直线AB的方程为 解 化成参数式方程为 于是 例 A点对应 B点对应 第二类曲线积分 例 (1) L是上半圆周 反时针方向; 解 A点对应 (2) L是x轴上由点 到点 的线段. (1)中L的参数方程为 B点对应 其中 原式= 第二类曲线积分 (2) L的方程为 原式= (2) L是x轴上由点 到点 的线段. 其中 第二类曲线积分 例 直接化为定积分计算, 取逆时针方向. 解 由曲线积分的性质. 则 其中ABCDA为 第二类曲线积分 第二类曲线积分的概念 第二类曲线积分的计算 两类曲线积分之间的联系 五、小结 四步:分割、取近似、求和、取极限 思想:化为定积分计算 第二类曲线积分的物理意义 变力沿曲线所作的功 关于曲线方向的性质 注意: 第二类曲线积分的性质 第二类曲线积分 作 业 习题9-2 (132页) 1. (2)(4)(6)(8) 2. 3. 5. 第二类曲线积分 * *