第八章多元函数微分法及其应用.doc

第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1．填空。 （1）设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 =________________； (2) 设 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 =_________________； (3) 设 SKIPIF 1 0 若当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ，则函数 SKIPIF 1 0 =________________； (4) 函数 SKIPIF 1 0 的定义域是_________________________； (5) 函数 SKIPIF 1 0 的定义域是，此定义域可用平面图形表示为 _____________________________________。 2．求极限。 （1） SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 4．讨论函数 SKIPIF 1 0 的连续性。 第二节 偏导数 1．填空。 （1） SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； （2） SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； (3) 设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 =__________, SKIPIF 1 0 =__________, SKIPIF 1 0 =__________, SKIPIF 1 0 =__ ________； （4）设 SKIPIF 1 0 ，（ SKIPIF 1 0 为连续函数），则 SKIPIF 1 0 =__ ________, SKIPIF 1 0 =__ ________。 2．证明函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处连续，但偏导数不存在。 3．验证 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 。 4．求下列函数的二阶偏导数 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 第三节 全微分及其应用 1．填空。 （1）设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （3）设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 2．求函数 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时的全增量和全微分。 3．求函数 SKIPIF 1 0 的全微分 4．设 SKIPIF 1 0 证明 SKIPIF 1 0 在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。 多元复合函数的求导法则 1．请把 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 填入下列式子的空括号里，并写出计算结果。 （1）设 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则复合关系图为 ，从而 SKIPIF 1 0 _______________________. SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， 则复合关系图为 ，且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = . 2．设 SKIPIF 1 0 ,而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 3．设u= SKIPIF 1 0 , 而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 . 4．设 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 为可导的函数，证明： SKIPIF 1 0 5．设 SKIPIF 1 0 ，其 SKIPIF 1 0 为可导的函数，验证 SKIPIF 1 0 . 6．设 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是有一阶连续偏导数，求 SKIPIF