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高等数学教案提纲 Chapter 11 Infinite Series 我们都知道，高等数学的研究对象是函数。到现在为止，我们已经学习了高等数学的主要内容：极限理论和微积分学。这一章所要讨论的无穷级数理论，则是更进一步地表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，它对于微积分学的进一步发展是非常重要的。实际上我们已经知道，导数是一个比值的极限、定积分是一个和式的极限，因此，我们说极限思想贯穿于微积分学的始终，而这一章将提供给我们的是一种“函数逼近”的思想方法。我曾经和大家说过：一本书可以很厚，但基本思想方法不会很多。因此，无论是从思想方法、还是从重要工具的角度，无穷级数的理论都将为我们高等数学的学习带来新的精彩，从而为我们的学习画上一个比较圆满的句号。 其实，我们大家对无穷级数并不陌生，我来举两个基本的例子： 第一个，不知道大家是否记得，在第一章讲数列极限时，我曾举过《庄子》天下篇中的一个中国古典名例“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。记得当时我还曾跟大家开过玩笑，说：“人生太短暂，做不了太多的事情。”但是，当我们有了极限的工具之后，我们却可以站在有限、把握无穷。这或许就是数学的魅力！ 现在我们换一个角度来看这个问题： ① SKIPIF 1 0 ；这是我们看出来的，不是我们算出来的，因为这是无穷多项和的形式。 如果是： SKIPIF 1 0 那么，各位：谁能告诉我，这个和是什么？ ② SKIPIF 1 0 大家都认识，如果现在我问： SKIPIF 1 0 是什么？大家将作何回答？在中学大家就使用过数学用表，求过 SKIPIF 1 0 的近似值，知道这些数学用表是怎样造出来的吗？想知道吗？实际上， SKIPIF 1 0 真正的数学定义应该是： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 。实际上，我们中学 SKIPIF 1 0 的数学用表，就是取了这个无限和的前三项就可以造出来。现在，无论你是在计算器上、还是在计算机里，你所得到的 SKIPIF 1 0 的值都不过是这个无穷和的有限项的代数和，而且可以达到任意高的精确度。这是什么？这就是“函数的逼近”！我们将在第四节之后向大家做完整的交待。 此外，如果从物理学的观点来看，把一个复杂的运动分解为一系列基本的简谐运动的叠加形式，这是近代物理中分析处理问题时一个很基本的思想方法。在第七节讨论傅立叶级数时，大家将会看到，比如：在无线电技术中的矩形波函数，就可以用一系列正弦波的叠加来无限的逼近。这是后话。 实际上，在现代科学技术当中，级数理论以其非常重要的基础地位而成为现代数学方法中非常重要的数学工具。所以，很多有关这方面的问题，我们都将在这一章当中得到完满的回答！ 但是，可能有的人就会说了，为什么要把好好的一个1写成这种无穷和的形式？这一方面固然是把确定的东西变为某种不确定的东西，可是另一方面，它却同时也就把某些不易掌握的对象变为我们所熟知的过程了。这里，用的不过是加、减、乘、除运算而已，这是一种思想方法。恩格斯在他的《自然辩证法》一书中就曾说过：“如果没有无穷级数和二项式定理，我们又能走多远呢？”当然，我们每个人都希望能走得更远一些，至少是健康些、快乐些、长久些。 下面，我们就来学习这章的第一节：常数项级数的概念与性质。 §11.1 The Concept and Properties of the Constant Series 本节教学目的：理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。 本节教学重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念。 本节教学难点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数收敛的必要条件。 这就是我们这节将要介绍的两个方面的问题。 一 The Concept of the Constant Series 如果给定一个数列 SKIPIF 1 0 ，则由它构成的表达式 (1) SKIPIF 1 0 就叫做常数项无穷级数，简称级数。其中第 SKIPIF 1 0 项 SKIPIF 1 0 叫做级数的一般项(General Term)。 这个无穷多项的和实际上是形式上的，我们以往研究的都是有限和，那么，这个无穷的和本质的含义是什么？在这个无穷和当中我们看出来它是1，而在后一个无穷和当中我们真的还一时看不出来。究竟什么时候它可以代表这样一个确定的数，什么时候它又什么都不代表？这个就涉及到级数收敛与发散的概念。这里，我们同样可以先把无穷级数的形式写出来 SKIPIF 1 0 ，然后，我让 SKIPIF 1 0 趋向无穷大，所以说