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第十二章 第一节 一、常数项级数的概念 定义 例1 例3 例4 二、收敛级数的基本性质 性质2 性质3 性质4 三、级数收敛的必要条件 注意: 例5 例6 *四、柯西审敛原理 * 目录 上页 下页 返回 结束 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 无穷级数 常数项级数 幂级数 傅里叶级数 函数项级数 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 第十二章 引例1 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 引例2 给定一个数列 将各项依 即 级数的前 n 项和 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 记作 称上式为 无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的 一般项, 称为级数的 部分和. 并称 S 为级数的 , 和 当级数收敛时, 称差值 显然 则称无穷级数 发散 . 为级数的 余项. 即 是 误差 用近似值 代替和 所产生的 是这个余项的绝 误差 对值， (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 讨论等比级数 1) 若 2) 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知，对于等比级数 时, 等比级数收敛 ，其和为 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 解 已知级数为等比级数， 例2 公比 原级数发散. 2） 1） 已知级数为等比级数， 公比 原级数收敛. 解 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 判别下列级数的敛散性: (1) (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . (3) 显然，有 因此所给级 数是发散的. 判别级数 的敛散性 . 解 故原级数收敛 , 其和为 性质1 收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 证 则 这说明 收敛 , 其和为 c S . 说明: 即 其和为 c S . 若级数 令 级数各项乘以 后其敛散性不变 . 非零常数 则级数 也收敛, 其和为 证 则 这说明级数 也收敛, 其和为 设有两个收敛级数 令 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 . (用反证法可证) 级数的敛散性. 证 的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 将级数 在级数中 , 不会影响 加上、去掉或改变有限项 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证 若按某一规律加括弧, 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列, 推论: 注意: 但 发散. 因此必有 例如， 用反证法可证 例如 设收敛级数 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 设收敛级数 则必有 证 可见: 例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 并非级数收敛的充分条件. 例如, 虽然 但此级数发散 . 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 但 矛盾! 所以假设不真 . 调和级数 解 发散 , 从而原级数发散 . 判断级数的敛散性: 考虑加括号后的级数 解 则 故 从而 这说明级数(1) 发散. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: (1) 令 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛 , 其和为 (2) 这说明原级数收敛, 其和为 3 . (3) * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * *