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第5章 常微分方程及其应用
习题5.2
1．求下列各微分方程的通解：
（1） SKIPIF 1 0 ； （2） SKIPIF 1 0 ；
（3） SKIPIF 1 0 ； （4） SKIPIF 1 0 ；
（5） SKIPIF 1 0 ； （6） SKIPIF 1 0 ．
2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；
（3） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； （4） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；
（5） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； （6） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ．
5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程
案例引入 求微分方程 SKIPIF 1 0 的通解．
解 两边积分，得 SKIPIF 1 0
两边再积分，得 SKIPIF 1 0
所以，原方程的通解为 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为任意常数．
5.3.1 可降阶微分方程
1. 形如 SKIPIF 1 0 的微分方程
特点：方程右端为已知函数 SKIPIF 1 0 ．
解法：对 SKIPIF 1 0 连续积分 SKIPIF 1 0 次，即可得含有 SKIPIF 1 0 个任意常数的通解．
2. 形如 SKIPIF 1 0 的微分方程
特点：方程右端不显含未知函数 SKIPIF 1 0 ．
解法： 令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ．于是，原方程可化为 SKIPIF 1 0 ．这是关于 SKIPIF 1 0 的一阶微分方程．设其通解为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ．两边积分，即可得原方程通解 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为任意常数．
3. 形如 SKIPIF 1 0 的微分方程
特点：方程右端不显含自变量 SKIPIF 1 0 ．
解法：令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ．于是，原方程可化为
SKIPIF 1 0 ．这是关于 SKIPIF 1 0 的一阶微分方程．设其通解为 SKIPIF 1 0 ，即
SKIPIF 1 0 ．分离变量，得 SKIPIF 1 0 ．然后两边积分，即可得原方程通解
SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为任意常数．
例5-7 求微分方程 SKIPIF 1 0 的通解．
解 两边积分，得 SKIPIF 1 0
两边再积分，得 SKIPIF 1 0
第三次积分，得 SKIPIF 1 0
所以，原方程的通解为 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为常数．
例5-8 求微分方程 SKIPIF 1 0 的通解．
解 令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ．原方程可化为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ．这是关于 SKIPIF 1 0 的一阶线性齐次微分方程．其通解为：
SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ．两边积分，即得原方程通解 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为任意常数．
例5-9 求微分方程 SKIPIF 1 0 的通解．
解 令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ．于是，原方程可化为 SKIPIF 1 0 ．这是关于 SKIPIF 1 0 的一阶线性非齐次微分方程．其通解为
SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0
SKIPI
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