北科大数理方程3+ch3+贝塞尔函数习题课.ppt

* 令 为m阶贝塞耳方程 边界条件： 初始条件： 2.通解 与 无关。m=0。 其中 决定 由边界条件： * 3.定解 P334结果 * * 两边第一类边界条件 本征值问题为： 代入边界条件： 通解为： 非零解条件： * 转动对称柱面问题 轴对称柱面问题 ( m = 0 时的特例 ) 转动对称柱面问题 * 轴对称热传导问题 例题 1 半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为 f = b2 – ρ2，确定柱内温度 u 的变化。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。 * 轴对称热传导问题 例题 2 半径为b的无限长圆柱体，柱面上绝热，初始温度分布为 f = Aρ2 ，确定柱内温度 u 的变化。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。 * 轴对称波动问题 例题 3 半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面 f = b2 – ρ2，初始速度为零，求膜的振动情况。 解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。 * 轴对称波动问题 例题 4 半径为b的圆形膜，边缘固定，初始位移为零，初始速度为 f = δ(ρ - c)，求膜的振动情况。 解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。 * 轴对称稳定问题 例题 5 半径为b，高为L的圆柱体，下底和侧面都保持零度，上底的温度分布为ρ2，求柱内的稳恒温度分布。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 * 轴对称稳定问题 例题 6 半径为b，高为L的圆柱体，侧面电势保持为零，上底的电势为A，下底的电势分布为Bρ2，求柱内的电势分布。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 * 转动对称热传导问题 例题 7 半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为 f = Aρ cosφ，确定柱内温度 u 的变化。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。 * 转动对称波动问题 例题 8 半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 ρ2sin2φ，初始速度为零，求膜的振动情况。 解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。 * 转动对称稳定问题 例题 9 半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温度分布为Aρsinφ，求柱内的稳恒温度分布。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 * 一般柱面问题 思路 先把非对称的条件分解为三角函数; 含三角函数的条件求出对称柱面解; 再对所得对称柱面解进行叠加。 一般热传导问题 一般波动问题 一般稳定问题 * 一般热传导问题 半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为 f (ρ, φ)，确定柱内温度 u 的变化。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。 * 一般波动问题 半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 f (ρ, φ)，初始速度为零，求膜的振动情况。 解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。 * 一般稳定问题 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温度分布为 f ( ρ, φ)，求柱内的稳恒温度分布。 谢 谢！ 放映结束 感谢各位批评指导！ 让我们共同进步 * 注意归纳贝塞尔函数的性质。 * 注意归纳诺伊曼函数的性质。 * * 误差最大不超过11% * 贝塞尔函数的积分最终可以化成关于J0的积分； 当 n + m 为奇数时，可以积分出来。 * 贝塞尔函数的积分最终可以化成关于J0的积分； 当 n + m 为奇数时，可以积分出来。 * 如果泛定方程改成波动方程或拉普拉斯方程，则过程中那些地方要修改？ * 第三章 贝塞尔函数  贝塞尔方程 的解称为贝塞尔函数。 在应用分离变量法求解某些圆柱形区域内 的定解问题时，常会遇到这样的常微分方程。 贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，它是某 个特殊的线性常微分方程的解。在一般情况下， 特殊函数不是初等函数。 * 内容： 第一节 贝塞尔方程的引出 第二节 贝塞尔方程的求解 第三节 贝塞尔函数的性质 第四节 贝塞尔函数应用举例 * 第一节 贝塞尔方程的引出 三维拉普拉斯方程 在柱坐标系(r, ?, z)下， 为 用分离变量法求解, 令 * 代入之，得 两边同除以 * 此式左端是r 和 的函数， 与z无关；而右端仅为 z 的函数, 因此必等于常数， 则有 于是得到 * 而后一式又可写成 的函数, 因此此式必等于常数， 则有 此式左端是r 的函数， 与 无关；而右端仅为 * 于是又得到下面两个式子： 这样共得到三个常微分方程 第一第三个方程容易求解。先看第一个方程的边界条件 * 因为在圆柱形区域的定解问题中，