二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题[1].doc

. . 二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0.﹣2）.B（3.4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C.点D是抛物线对称轴上一动点.记抛物线在A.B之间的部分为图象G（包含A.B两点）．若直线CD 与图象G有公共点.结合函数图象.求点D纵坐标t的取值范围． 考点： 待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题： 计算题． 分析： （1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值.确定出抛物线解析式.求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标.以及二次函数的最小值.确定出D纵坐标的最小值.求出直线BC解析式.令x=1求出y的值.即可确定出t的范围． 解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0.﹣2）.B（3.4）. 代入得：. 解得：. ∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2.对称轴为直线x=1； （2）由题意得：C（﹣3.﹣4）.二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4. 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4. 设直线BC解析式为y=kx+b. 将B与C坐标代入得：. 解得：k=.b=0. ∴直线BC解析式为y=x. 当x=1时.y=. 则t的范围为﹣4≤t≤． 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式.待定系数法求一次函数解析式.以及函数的最值.熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 　 　 2．（2011?石景山区二模） 考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 专题： 探究型． 分析： （1）先设出过A（﹣2.0）、B（4.0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）.再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值.进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线CD解析式.再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式.再将此解析式与直线CD的解析式联立.根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围.进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位． 解答： 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）. ∵C点坐标为（0.4）. ∴a=﹣.（1分） ∴解析式为y=﹣x2+x+4. 顶点D坐标为（1.）；（2分） （2）直线CD解析式为y=kx+b． 则.. ∴. ∴直线CD解析式为y=x+4.（3分） ∴E（﹣8.0）.F（4.6）. 若抛物线向下移m个单位.其解析式y=﹣x2+x+4﹣m（m＞0）. 由消去y.得﹣x2+x﹣m=0. ∵△=﹣2m≥0. ∴0＜m≤. ∴向下最多可平移个单位．（5分） 若抛物线向上移m个单位.其解析式y=﹣x2+x+4+m（m＞0）. 方法一：当x=﹣8时.y=﹣36+m. 当x=4时.y=m. 要使抛物线与EF有公共点.则﹣36+m≤0或m≤6. ∴0＜m≤36；（7分） 方法二：当平移后的抛物线过点E（﹣8.0）时.解得m=36. 当平移后的抛物线过点F（4.6）时.m=6. 由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度.（7分） 综上.要使抛物线与EF有公共点.向上最多可平移36个单位.向下最多可平移个单位． 点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换.涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题.有一定的难度． 　 　 3．（2013?丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示.其顶点坐标为M（1.﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折.图象的其余部分保持不变.得到一个新的图象.请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时.求n的取值范围． 考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换． 分析： （1）确定二次函数的顶点式.即可得出二次函数的解析式． （2）求出两个边界点.继而可得出n的取值范围． 解答： 解：（1）因为M（1.﹣4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标. 所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3. （2）令x2﹣2x﹣3=0. 解之得：x1=﹣1.x2=3. 故A.B两点的坐标分别为A（﹣1.0）.B（3.0）． 如图.当直线y=x+n（n＜1）. 经过A点时.可得n=1. 当直线y=x+n经过B点时. 可得n=﹣3. ∴n的取值范围为﹣3＜n＜1. 翻折后的二次函数解析式为二次函数y=﹣x2+2x+3 当直线y=x+n与二次函数y=﹣x2+2x+3的图象只有一个交点时. x+n=﹣x2