苏教版高中数学选修3-4抽象群初步.ppt

抽象群初步 变换群主要应用于研究集合问题，把变换群再 推广，成为抽象群，就能在数学分支理论及应用中 发挥更大的作用。 算术中的1+2=3，是从“1个人+2个人”、“1张桌+2张桌”等具体问题中抽象概括出来的。形式抽象了，数学规律更突出了，应用也更广泛了。 将变换群概念推广，目光不限于几何变换，对 于任意一个集合，只要具备类似的性质，就得到抽 象的“群”。 思考: 究竟什么是“群”呢？ 群的定义 1、 设A是一个非空集合，若对A中任意两个元素a，b，通过某个法则“?”，有A中惟一确定的元素c与之对应，则称法则“?”为集合上的一个代数运算（algebraic operation)。元素c是a，b，通过运算“?”作用的结果，我们将此结果记为a?b=c. 例1 有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算，除法不是Q上的代数运算。如果只考虑所有非零有理数的集合Q*，则除法是Q*上的代数运算。 2、设G是一个集合，其元素记为a,b,c.... 又设在G中存在一种操作（把它叫做“乘法”），满足： （1）封闭性—G中任意两个元素a与b的“乘积” 是G中的一个元素c，记为c=b?a，简记为c=ba; （2）结合律—G中任意三个元素的连乘积满足 结合律（cb）a=c（ab）； （3）恒等元—G中存在一个特殊元素e，叫做恒等元，它与G中任意元素a的乘积仍a； （4）逆元—对于G中每个元素a，都有G中某个相应的元素，叫做a的逆元，使它与a的乘积等于e（元素a的逆元记为a-1）。 则称G关于运算“?”构成一个群(group)，记作(G,o)，在不致引起混淆的情况下，也把G称 为群。 这样定义的群，不管它的元素究竟是什么（可以是几何变换、字母置换、实数，或者其它任何对象），也不管叫做“乘法”的到底是什么操作，只要满足条件就行。 以上只考虑抽象的运算关系，所以又叫做“抽象群”。 群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。 例2 整数集{z}及其上的加法+ 单位元为0，逆元z-1=-z，构成整数加法群。 证 对任意的a，b∈Z，有a+b∈Z，所以“+”是Z上的一个代数运算。同时，对任意的a，b，c∈Z，有(a+b)+c=a+(b+c)，所以结合律成立。 另一方面0∈Z，且a∈Z，有a+0=0+a=a，所以0为Z的单位元，又对每个a∈Z，有a+(-a)=(-a)+a=0，所以-a是a的逆元。从而Z关于“+”构成群，显然这是一个交换群。 例3 实数集R，运算为加法： 单位元e=0，逆元： a∈R，a-1=-a，构成加群。若运算为数乘，R不构成群，0-1不存在。 不过不包含0的所有实数R/0，构成乘法群，单位元e=1，逆元： a∈R/0，a-1=1/a. 当群的运算用加号“+”表示时，通常将G的单位元记作0，并称0为G的零元；将a∈G的逆元记作-a，并称-a为a的负元。 习惯上，只有当群为交换群时，才用“+”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群。将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，结果叫做积。 全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群，这个群的单位元是数1，非零有理数 的逆元是 的倒数 。同理，全体非零实数的集R*、全体非零复数的集合C*关于数的乘法也构成交换群。 以几何变换作为元素，变换的合成作为 乘法，所得到的群就是变换群。 变换群的许多有关概念，例如子群和扩群等，都能推广到抽象群。 谢谢指导！