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苏教版高中数学选修3-4变换群.ppt
变换群 1、运动:不改变任意两点之间距离的变换。 2、对称图形(轴对称、中心对称、旋转对称)。 旧知回顾 思考: 为什么地砖通常做成正方形,而不是菱形? 1.运动与对称性 恒等变换e叫做平凡运动,除e而外的运动叫非平凡运动。 如果某几何图形在一个变换f下所得到的图形和原图形完全重合,就是这个图形容许变换f. 容许非平凡运动的图形叫对称图形。 正方形比菱形具有更多的对称性.菱形只有两条对称轴,而正方形有四条对称轴。 所谓“具有更多的对称性”,就是容许更多的运动。 2.封闭性 如图的四边形ABCD中,AB=BC,AD=DC,这样的四边形叫筝形。 什么适合反映筝形的全部对称性? 连续作多次轴对称,都与原来重合,作偶数次的话,都变为它自己。 两个相同轴对称变换f的积是恒等变换,任意筝形不但容许变换f,还容许变换e.只要有f就有e. 用f和e可以能组成各种乘积,列举如下: e2=e,ef=f,fe=f,f2=e. 这些乘积,不是e就是f,没有新的变换。 把单独一个变换f组成的集合记为S,由f,e组成的集合记为G, 则S={f},G={f,e}. 集合G中,f,e的逆变换仍为f,e,都备齐了。 结论:集合G适合于用来反映筝形ABCD的全部对称性。 3.变换群 满足下面条件的变换集合G叫做变换群。 (1)封闭性—G中任意两个变换的乘积仍在G中; (2)结合律—G中任意三个变换的连乘积满足结合律; (3)恒等变换—G中包含恒等变换e; (4)逆变换—G包含其中每个变换的逆变换。 显然,由f和e组成的集合G是常见的变换群,用G2表示。它只含有2个元素,是有限群。 所有运动的集合也是变换群,叫运动群.它包含无限多个元素,是无限群.G2是运动群的部分。 有限群的乘法规则可列成表格,叫乘法表。 变换群G2的乘法表如下: 从一个变换群G中取出一部分元素组成集合H,如果H也是变换群,那么H叫G的子群,G叫做H的扩群。 举例:G2是运动群的子群,运动群是G2的扩群。 4.筝形的对称群 筝形ABCD容许轴对称变换f和恒等变换e,它们组成变换群C2.变换群C2叫做筝形的对称群,组成C2的变换e和f叫做筝形的两个对称变换。 应用:有些装饰图案具有对称群C2,只需画出一半,就能得出另一半(如图)。 一般地,任一几何图形容许的所有运动组成一个变换群,叫做这个图形的对称群。 5.菱形的对称群 如图,菱形ABCD,对角线交点为O. 菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形.用f和g分别表示菱形容许的两个轴对称变换(f的对称轴是BD,g的对称轴是AC),h表示中心对称,e表示恒等变换,那么e,f,g,h是菱形ABCD容许的全部变换。 这些变换组成菱形的对称群G4.乘法表如下: 四个变换的逆变换都是它自己。 在G4的元素中,e和f组成筝形的对称群C2,e和g也组成一个变换群C2. 应用: 以G4为对称群的装饰图案,只需先画好1/4,然后利用轴对称变换f和g,就能得到其余部分(如下图)。 6.正方形的对称群 如图正方形ABCD,对角线为O. 正方形是轴对称图形,有四条对称轴:对角线a,c,两双对比中点的连线b,d.关于直线a,b,c,d的对称变换仍记为a,b,c,d. 正方形又是旋转对称图形,容许绕中心O旋转90o,180o,270o.用e表示恒等变换,f,g,h分别表示绕O旋转90o,180o,270o. 经过以上8个变换后,图形都与原图形重合,只是顶点位置有变化,如下图所示.正方形内的小写字母表示所用变换的名称。写着f,说明是经过变换f(逆时针旋转90o);写着e,说明是经过恒等变换...... 正三角形的对称群记为D3,正五边形的对称群记为D5,正方形的对称群记为D4... 在D4的8个元素中,e和a组成变换群C2,e,a,c,g组成变换群G4,可见C2 、G4是D4的子群,D4是C2 、G4的扩群。 图形越特殊,对称性越丰富,它的对称群中包含的变换也越多。 正方形是特殊的菱形,菱形又是特殊的筝形。菱形的对称群G4是筝形的对称群C2的扩群,正方形的对称群D4是菱形的对称群G4的扩群。 应用: 画以D4为对称群的图案,只需先画好它的1/8,然后利用对称性,就能得到其余部分(如下图)。 谢谢指导!
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