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等差数列 等差数列的通项公式(推导一) 小 结 本节课学习的主要内容有: 等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 本节课的能力要求是: (1)理解等差数列的概念; (2)掌握等差数列的通项公式; (3) 能用公式解决一些简单的问题. 等差数列的图象2 等差数列的图象3 * 高中数学 在过去的三百多年里,人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星: (1)1682,1758,1834,1910,1986,( ) 你能预测出下一次的大致时间吗? 2062 相差76 通常情况下,从地面到10公里的高空,气温随高度的变化而变化符合一定的规律,请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。 8844.43米 (2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24. 减少6.5 … 高度(km) 温度(℃) 1 2 3 28 21.5 15 7 -11 4 5 8.5 2 6 -4.5 9 -24 … (1)1682,1758,1834,1910,1986,2062 请观察: 请问:它们有什么共同特点? (2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24 (3)1,1,1,1, ··· . 共同特点:从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d 表示. d=76 d=-6.5 d=0 它们是等差数列吗? (6) 5,5,5,5,5,5,… 公差 d=0 常数列 公差 d= 2x (5) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 × (7) 【说明】 数列{ an }为等差数列? an+1-an=d(n≥1) (3) 1,4,7,10,13,16,( ),( )…… 你能求出该数列的通项公式吗? … … 思考:根据规律填空? 要是有通项公式该有多好啊! 19 22 如果一个数列 是等差数列,它的公差是d,那么 …, … 通项公式: 归纳得: 叠加得 … 等差数列的通项公式(推导二) 通项公式: 从函数的角度来看等差数列通项公式: 所以等差数列通项公式也可以表示为: 通项公式: 在等差数列通项公式中,有四个量, 知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 . 例1 (1) 求等差数列8,5,2,…,的第20项。 解: (2) 等差数列 -5,-9,-13,…,的第几项是 –401? 解: 因此, 解得 , 20 , 3 8 5 , 8 1 = - = - = = n d a Q 用一下 例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 解:由题意可知 即这个等差数列的首项是-2,公差是3. 求首项a1与公差d. 解得: 说明:由此可以看到:已知等差数列的两项就 可以确定这个数列. 探究:已知等差数列{ }中,公差为d,则 与 (n , m ∈ N*) 有何关系? 解:由等差数列的通项公式知 ①-② ① ② (这是等差数列通项公式的推广形式 ) ㈠推广后的通项公式 (n-m)d 例3 在等差数列{an}中 (1)?? 若a59=70,a80=112,求a101; (2)?? 若ap=q,aq=p (p≠q),求ap+q; ? (3) 若a12=23,a42=143, an=263,求n. d=2, a101=154 d= -1, ap+q=0 d= 4, n=72 1. 求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项; 2. 100是不是等差数列2,9,16,…中的项? 3. -20是不是等差数列0,- ,-7…中的项; 练一练 练一练 4. 在等差数列中 思考题:第15届现代奥运会于1952年在芬兰赫尔辛基举行,每4年举行一次。奥运会如因故不能举行,届数照算。 (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式。 (2)2008年北京奥运会是第几届? (3)2050年举行奥运会吗? 在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列: (1)2 ,( ) , 4 (2)-12,( ) ,0 3 -6 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。 思 考 ( 3 ) , ( ) , 等差数列的图象1
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