高中数学-北师大版选修4-5几个重要的不等式第二章-§3-3.1.pptVIP

§3　数学归纳法与贝努利不等式 3.1　数学归纳法 学习目标 1.理解归纳法和数学归纳法原理. 2.会用数学归纳法证明有关问题. 预习自测 1.由有限多个个别的特殊事例得出__________的推理方法，通称为______. 2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： 一般结论 归纳法 (1)证明当____________时命题成立； (2)假设当______时命题成立，证明_________时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为____________. n取初始值n0 n＝k n＝k＋1 数学归纳法 自主探究 1.为什么数学归纳法能够证明无限多个正整数都成立的问题呢？ 提示　这是因为第一步首先验证了n取一个值n0，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0成立，根据假设和合理推证，证明出n＝k＋1也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立；n＝2成立，则n＝3也成立；n＝3成立，则n＝4也成立.如此反复，以至对所有n≥n0的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇. 2.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？ 提示　不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了. 3.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？ 提示　第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了. 典例剖析 知识点1　利用数学归纳法证明等式 【反思感悟】 利用数学归纳法证明等式的关键是当n＝k＋1时利用假设n＝k成立进行转化证明，要分清楚增加的几项分别是什么. 【反思感悟】 在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n＝k时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误. 2.用数学归纳法证明： 知识点2　用数学归纳法证明不等式 【反思感悟】 (1)由n＝k到n＝k＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一. (2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.