D11-2数项级数及审敛法同济大学-高等数学(上)课件.pptVIP

一、正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 例1. 讨论 p 级数 2) 若 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 例2. 定理3. (比较审敛法的极限形式) 例3. 判别级数 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) (2) 当 例5. 讨论级数 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 说明 : 例6. 证明级数 二 、交错级数及其审敛法 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 三、绝对收敛与条件收敛 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 例7. 证明下列级数绝对收敛 : 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. 内容小结 3. 任意项级数审敛法 思考与练习 备用题 2. * 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 若 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, 则有 (2) 若弱级数 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若存在 对一切 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明级数 发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 , (1) 当0 l ∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 收敛 , 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; 特别取 可得如下结论 : 对正项级数 (2) 当 且 收敛时, (3) 当 且 发散时, 也收敛 ; 也发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性. ～ 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例4. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 所以级数发散. 时 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级数收敛 ; 级数发散 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?对任意给定的正数 ? 设 为正项级 则 证明提示: 即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确. 数, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 机动