量子力学（苏汝铿）课后练习题解答.doc

PAGE PAGE 84 第一章课后练习题解答 试利用普朗克公式证明维恩位移律。 证明：频率间隔为中的能量密度为 　　　 即普朗克公式 由得，，取波长增加方向即将符号去掉得 代入上式得波长间隔 整理得 由 解此超越方程得 ，其中为取极大值时相应的波长， 这就是维恩位移律。 设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上。若电子的动能转化为一个电子，求当这个电子相应的光波波长分别为500nm（可见光）、0.1nm、（X射线）以及0.0001nm（射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ 解：电子的动能满足 又，其中为光波的频率 所以， 所以当＝500nm时，V=2.48V 当＝0.1nm时，V=12400V 当＝0.0001nm时，V=12400,000V 1.4利用玻尔量子化条件求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径。 解：（1）一维谐振子的能量可以表示为 其对应的薛定谔方程为不合题意！ 不合题意！ 计算结果为 （2）设均匀磁场的大小为B，电子的运动半径为a,质量为m，电量为q，电子运动速率为。 则， 取电子角位移为广义坐标，相应的的广义动量。 根据推广的玻尔量子化条件，有，则 该广义动量大小在同一轨道中不变，故＝， 再结合，得 求下列各粒子的得布罗意波的波长: 能量为100eV的自由电子; 能量为0.1eV的自由电子; 能量为0.1eV,质量为1g的质点; 温度为T=1K时,具有能量(k为玻耳兹曼常数)的氦原子. 解: 由, 得 利用玻尔量子化条件求: 一维谐振子的能量; 在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径 解: (i). 谐振子势能取为 令 由 有 又 (ii) 对电子 由 有 1.5 设箱的长宽高分别为、、,用波尔量子化条件求箱内运动粒子的能量. 解: 对于限制在矩形箱内内运动的三维粒子 因而 则有 又有, 而 则有 1.6 宏观世界里,量子现象常常可以忽略.对下列的各种情况,在数值上加以证明: (ⅰ)长,质量的单摆的零点振荡的振幅; (ⅱ)质量以速度向一高为,宽为的刚性障碍物运动的子弹的透射概率; (ⅲ)质量以速度运动的刚球,被大小为的窗子所衍射. 解: (ⅰ)由维里定律可推知,谐振子的平均势能,再由谐振子的零点振荡能为,可得 其中,为对应零点能的均方根振幅,所以 可见宏观振子的零点振荡实际上是没有的; (ⅱ)如果把障碍物的宽度看成是势垒的厚度,把子弹透射看成是越过障碍物所设置的重力势垒,则透射概率 这里,,则 (ⅲ)入射刚球的de Broglie波长为 方形窗的水平和垂直方向的衍射角分别为 1.5设箱的长度分别为a,b,c，用玻尔量子化条件求箱内运动粒子的能量。 解： 对一维束缚粒子， 即，？？？？能量是矢量？？？？对于限制在矩形箱内内运动的三维粒子 ？？？？能量是矢量？？？？ 对于限制在矩形箱内内运动的三维粒子 因而 所以，此即在箱内运动粒子的能量 同理， 所以， 此即运动粒子在箱内的能量 1.6.宏观世界里，量子现象常常可以被忽略，对下列的各种情况，在数值上加以证明： （i）长l=1m,质量m=1kg的单摆的零点振荡的振幅； (ii) 质量m=5g,以速度v=10cm/s向一高为5cm,宽为1cm的刚性障碍物运动的子弹的透射概率； (iii)质量m=0.1kg以速度v=0.5m/s运动的钢球，被大小为1×1.5m2 解： 设：单摆的零点振荡的振幅为a 基态能量为 有 又， 所以，设单摆的振幅为，势能 设单摆的振幅为，势能可取为，则可令 由 有 又 对于零点震荡，，能量为，有 又 所以 由德布罗意关系，知 子弹的德布罗意波长的线度远小于刚性障碍物的尺寸，所以该子弹不能发生衍射，即穿透的概率趋于0 由德布罗意关系，知 其波长的线度远小于窗子的线度1m，显然不能发生衍射运动的钢球被大小为1×1.5m 运动的钢球被大小为1×1.5m2