高数下曲面及其方程.ppt

第三节 一、曲面方程的概念 定义1. 例1. 求动点到定点 例2. 研究方程 二、旋转曲面 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 三、二次曲面 1. 椭圆锥面 2. 椭球面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 抛物面 内容小结 2. 二次曲面 思考与练习 * 四、二次曲面 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第七章 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求方程为 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 表示上(下)球面 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的一种基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. ① (我们还可以用伸缩变形的方法来得到椭圆锥面 的形状。) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 沿着y轴方向伸缩b/a倍， 就变为椭圆 例如，把圆 类似的，把空间图形 沿着y轴方向伸缩b/a倍， 就变为椭圆锥面 那么，圆锥面 利用圆锥面（旋转曲面）的伸缩变形来得到椭圆锥面的形状，这种方法是研究曲面形状的一种较简便的方法。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 球面是旋转椭球面的特殊情形，旋转椭球面是椭球面的特殊情形。 把xoz面上的椭圆 绕z轴旋转，得到的 曲面称为旋转椭球面，其方程为 再把旋转椭球面沿着y轴方向伸缩b/a倍，便得到椭球面。 (1)单叶双曲面 把此旋转曲面沿着y轴方向伸缩b/a倍，即得到 单叶双曲面。 绕z轴旋转，得到旋转单叶双曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P18 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 特别,当 p