选修4-4-坐标系与参数方程.ppt

一、平面直角坐标中的坐标伸缩变换： 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点P(x,y)对应到点 则称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 二、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。 这样就建立了一个极坐标系。 X O 三、极坐标系内一点的极坐标的规定 X O M ? ? 对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，用 ? 表示从OX到OM 的角度，? 叫做点M的极径， ?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标。 特别强调：?表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；?表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。 1、负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。 对于点M（?，?）为负极径时的规定： [1]作射线OP，使?XOP= ? [2]在OP的反向延长 线上取一点M，使?OM?= ? ? ? O X P ? M 2、正、负极径时，点的确定过程比较 O X P O X P [1]作射线OP，使?XOP= ?/4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使?OM?= 3 [1]作射线OP，使?XOP= ?/4 [2]在OP的上取一点M，使?OM?= 3 M 画出点 （3，?/4） 和（－3，?/4） 给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。 M 3、负极径的实质 从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。 O X P M O X P M 而反向延长也可以看成是旋转 ? ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。 负极径小结：极径变为负，极角增加 ? 。 特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为? ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。 四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 [1]给定（?,?）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 O X P M (ρ,θ)… 注意：①一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标. ②如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π, 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了. 五:极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ) 1.极坐标转化为直角坐标公式： x=ρcosθ, y=ρsinθ 2.直角坐标转化为极坐标公式： ρ2 = x2 + y2，tanθ= (x≠0) y x 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度单位相同. 注意：互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 的圆 圆心为(r,0) ,半径为 r的圆 圆心为 ,半径为 r的圆 六.特殊曲线的极坐标方程 过极点,倾斜角为 的直线 过点 ,与极轴垂直的直线 过点 ,与极轴平行的直线 一.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M(x,y) 在这 曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数 t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出的坐标间关系的方程叫做普通方程. ① 二.参数方程和普通方程的互化 1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,一般 可以通过消去参数而从参方程得到普通方程. 2.如果知道变数x,y 中的一个与参数t的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t) ,那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一. 应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果 用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.。 三.特殊曲线的参数方程 x2+y2=r2 注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的