高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义.doc

高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义 题型一：一次函数的值域（最值） 1、一次函数： 当其定义域为，其值域为； 2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数的值域（最值） 1、二次函数， 当其 定义域为时，其值域为 2、二次函数在区间上的值域(最值) 首先判定其对称轴与区间的位置关系 （1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者；当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。 （2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知 的定义域为，则的定义域为 。 例2：已知，且，则的值域为 。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为，值域为 2、形如：的值域： （1）若定义域为时，其值域为 （2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。 例3：函数的值域为 ；若时，其值域为 。 例4：当时，函数的值域 。 练习：已知，且，则的值域为 。 题型四：二次分式函数的值域 一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；③分子、分母必须是既约分式。 例6：； 例7：； 例8：； 例9：求函数的值域 解：由原函数变形、整理可得： 求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围 当时，解得： 也就是说，是原函数值域中的一个值 …① 当时，上述方程要在区间上有解， 即要满足或 解得： ……② 综合①②得：原函数的值域为： 题型五：形如的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。 例10： 求函数在时的值域 题型六：分段函数的值域： 一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11： 练习： 题型七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。 例13： 练习： 函数值域求解的十五种求法 （1）直接法（俗名分析观察法）： 通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。 例1：已知函数，，求函数的值域。 练习：求函数的值域。 例3：求函数的值域。 练习：求函数的值域。 （2）配方法： 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法。 例1．求函数的值域。 分析与解答：因为，即，，于是： ，。 例2．求函数在区间的值域。 分析与解答：由配方得：， 当时，函数是单调减函数，所以； 当时，函数是单调增函数，所以。 所以函数在区间的值域是。 （3）最值法： 对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2当定义域为［-3，1］的值域。 解：由3-2x-x2≥0，解出。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。　　∴函数的值域是［0,2］ 练习：求函数，的值域。 （4）反函数法（逆求或反求法）： 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。 例1：求函数的值域。 解：由解得，∵，∴，∴ ∴函数的值域为。 （5）