矩阵的秩及向量组的极大无关组求法.ppt

《线性代数》 下页 结束 返回 一、矩阵的秩的概念 二、初等变换求矩阵的秩 三、向量组方面的一些重要方法 下页 第7节 矩阵的秩及向量组的极大无关组求法 ①向量组的秩的计算方法 ②极大无关组的确定方法 ③用极大无关组表示其它向量的方法 注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记. 定义1 设A是m╳n矩阵，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})， 位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列 式，称为A的k阶子式. 如矩阵 第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为 三阶子式共有4个 下页 7.1 矩阵的秩的概念 定义2 若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式 (如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A). 规定零矩阵的秩为零. 易见： （1）若A是m╳n矩阵，则r(A) ≤min{m,n}. （2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零 ，则r(A) ≥r； 若所有r+1阶子式全等于零，则r(A) ≤ r. （3） r(A) = r(AT) . （4） r(kA) = r(A)，k≠0 . （5） 对n阶方阵A，若|A|≠0，则r(A)=n ,称A为满秩矩阵 ; 若|A| = 0，则r(A)n ,称A为降秩矩阵. 结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩. 下页 例1. 求下列矩阵的秩. 解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即 但二阶子式 所以 下页 定理1 初等变换不改变矩阵的秩. 定义3 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简 称阶梯形矩阵： （1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全为零的行 称为零行，否则称为非零行)； （2）从第一行起，下面每一行从左向右第一个非零元素 前面零的个数逐行增加. 如 下页 7.2 初等变换求矩阵的秩 定理2 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) m╳n都可以通过初等 行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r. 即 结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩. 下页 例2. 求矩阵 的秩. 下页 所以， r(A)=3. 解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵 下页 例3. 设方阵 判断A是否可逆. 解法1: 因为 , 所以，A满秩(可逆). 解法2: 用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得 所以r(A)=3，A满秩，故A可逆. 下页 定义4 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩 称为矩阵A的列秩. 即 下页 7.3 向量组方面的一些重要方法 行向量组a1，a2，??? ，am的秩，称为矩阵A的行秩. 列向量组b1，b2，??? ，bm的秩，称为矩阵A的列秩. 定理3 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩. 例4. 求下列向量组 a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 求向量组的秩的方法 下页 ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等变换将A化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2． 例4. 求下列向量组 a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等变换将A化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2． 求向量组的秩的方法 下页 ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 问题：基本单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？ 定理4 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向 量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 线性关系: 矩阵A 矩阵A1 矩阵A2 求向量组的极大线性无关组的方法 下页 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组． 由上可得，求向量组的极大线性无关组的方法： 下页 矩阵A2 矩阵A3 矩阵B 例5. 求下列向量组的一个极大无关组，其中： 解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换