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平行四边形的判定
学习目标
掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质
根据四边形的性质特征求角、求边及相关计算题
重难点
平行四边形、菱形、矩形的性质综合运用
三、知识要点回顾
判定前提:在同一平面内
【基础知识】
平行四边形 平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形性质:平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等。
平行四边形判定定理:1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 4、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 6、两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。
7、相邻两角分别互补的四边形是平行四边形。
注意:(1)平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件;
(2)判定方法可作为 “画平行四边形”的依据;
(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。
例题讲解1. 如图所示:E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE,CE,CF,AF,请你用两种不同方法证明四边形AECF是平行四边形.
2.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且交BC于点D,DE∥AC于点E,EF∥BC交AC于点F。求证:AE=CF。
3.如图,在ABCD中,延长AB至点E,延长CD至F,使BE=DF,连接EF.求证:AC与EF互相平分。
4.如图,已知AE、CF分别是ABCD的内角∠DAB、∠BCD的平分线。求证:四边形AECF是平行四边形。
5.如图,已知六边形ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,AB=10,BC=70,CD=20,DE=40,求AF和EF的长。
矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质: ①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等且平分;注意:矩形具有平行四边形的一切性质
矩形的判定定理:①有一个角是直角的平行四边形是矩形;
②有三个角是直角的四边形是矩形;
③对角线相等的平行四边形是矩形 .
例 1. 如图,在四边形ABCD中,BE=DF,AC和EF互相平分于点O,∠B=90°。求证:四边行ABCD是矩形。
变式 如图,BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的角平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,点E、D为垂足,求证:四边形AEBD是矩形.
ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.
利用矩形证明线段相等
例 如图,在△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC与△ABC的外角∠BAF的平分线,BE⊥AE于点E.求证:AB=DE.
变式 证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
利用矩形证明线段之间的关系
例 如图,已知点E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,点P为对角线BD上一点,PF⊥BE于点F,PG⊥AD于点G.求证:AB=PG+PF.
变式 如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的任意一点,DE⊥AB,DF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H。求证:CH=DE+DF.
菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质: ①菱形的四条边都相等; ②菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 .
菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2
注意:菱形也具有平行四边形的一切性质
菱形的判定定理: 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四条边都相等的四边形是菱形
3、对角线互相平分的四边形是菱形
例 如图,ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与边AD、BC分别相交于点E、F。求证:四边形AFCE是菱形。
变式 如图,在△ABC中,AB=AC,点E、F分别是AB、BC、AC的中点。求证:四边形ABCD是菱形.
如图,在ABCD中,BAD的平分线与BC相交于点E,ABC的平分线与AD相交于点F.求证:四边形ABEF是菱形.
如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点O关于直线AD的对称点是E,连结AE、DE.
试判断四边形AODE的形状,并说明理由;
连结EB、EC,证明:EB=EC
如图,在矩形ABCD中,点O是B
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