高中数学必修4三角函数常考题型：任 意 角.docVIP

任 意 角 【知识梳理】 1．按旋转方向分 名称 定义 图形 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 2. 按角的终边位置 (1)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角； (2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． 3. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝α＋k·360°，k∈Z))，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 【常考题型】 题型一、象限角的判断 【例1】　已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． (1)－75°；(2)855°；(3)－510°. [解]　作出各角，其对应的终边如图所示： (1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角． 【类题通法】 象限角的判断方法 (1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角． (2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角． 【对点训练】 在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°. 解：如图所示，分别作出各角．可以发现 (1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限． (3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，所以2 012°是第三象限角． (4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角． 题型二、终边相同的角的表示 【例2】　(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来． (2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合． (3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合． [解]　(1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝－1 910°＋k·360°，k∈Z)). ∵－720°≤β＜360°， ∴－720°≤－1 910°＋k·360°＜360°， 3eq \f(11,36)≤k＜6eq \f(11,36). 故k＝4,5,6， k＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°. k＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°. k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°. (2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}． ②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}． ③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}． (3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}． 故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 【类题通法】 1．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某