中职数学——8.2.1任意角的三角函数.ppt

角度 ? ? ? ? ? 弧度 ? ? ? ? ? ? 复习回顾： 8.2.1 任意角的三角函数 角的范围已经推广，那么对任一角α是否也能 像锐角一样定义三角函数呢？ 初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角α为自变量，以比值为函数值，定义了角α的正弦、余弦、正切的三角函数. 本节课我们研究当角α是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示． 1. 任意角的三角函数的定义 设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合,那么α的终边在第一象限，在α的终边上任意一点P(a,b)(除开顶点O),它与原点(即顶点)的距离是r(r0),那么根据初中所学过的三角函数的定义，有 O x y r (1)正弦:sinα= ; (2)余弦:cosα= ; (3)正切:tanα= . α P(a,b) b a 由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位置改变而改变，所以通常取r=1的位置。 P(a,b) 0 x y M α A(1,0) 1 设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合,那么α的终边在第一象限，在α的终边上的点P(a,b)与原点(即顶点)的距离是1,那么根据初中所学过的三角函数的定义，有 (1)正弦:sinα= =b ; (2)余弦:cosα= =a ; (3)正切:tanα= . 我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 1. 任意角的三角函数的定义 同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 1、任意角的三角函数的定义一 设α是任意一个角,α的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么 (1)正弦:sinα=y ; (2)余弦:cosα=x ; (3)正切:tanα= (x≠0). P(x,y) 0 x y α A(1,0) 正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 三角函数 sinα cosα tanα 定义域 角的概念推广后，实际上是把角的集合 与实数集R之间建立了一一对应的关系： 实数集R 角的集合 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 例1.求下列角的正弦、余弦和正切值： 解： （1）在直角坐标系中，作 （如图）， 得的终边与单位圆的交点坐标为 例1.求下列角的正弦、余弦和正切值： 解： （2）∵ 当 时， 在直角坐标系中， 角 的终边与单位圆的交点坐标为 （3）∵ 当 时， 在直角坐标系中， 角 的终边与单位圆的交点坐标为 不存在. x y O 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值. P0(-3,-4) 0 x y M0 P(x,y) M 如图，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)， 解： 分别过点P、P0作x轴的垂线MP，M0P0， 则 ∽ 且 一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原点(顶点)的距离为r0，则 sinα= ;cosα= ;tanα= . 三角函数的坐标定义 ： (见教材86页) 例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值. 解法2： 点P0(-3,-4),到原点的距离为 故由三角函数的坐标定义知： . P0(-3,-4) 0 x y M0 变式1：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a0)，求角α的正弦、余弦、正切值． 变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、余弦、正切值． 变式3 划归的思想 例3. 若角的终边落在直线 y=2x上，求α的三角函数值. 解： ①若角的终边在第一象限， x y O 可在其终边上取一点 P(1 , 2)， P 则 由三角函数坐标定义得： 例3. 若角的终边落在直线 y=2x上，求α的三角函数值. 解： ②若角的终边在第三象限， x y O 可在其终边上取一点 P(-1 , -2)， P 则 由三角函数坐标定义得： 2、三角函数值的符号 均为正 sinα tanα x 0 y cosα 口诀：“一全、二正、三切、四余” (1)正弦:sinα=y ; (2)余弦:cosα=x ; (3)正切:tanα= (x≠0). 规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正” “一全二正弦，三切四余弦”