几何解析题专题.doc

几何解析题专题 1． 如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点， （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。 【解】 （Ⅰ）证明：取的中点，连结 ∵分别为的中点 ∵ ∴面，面 ∴面面 ∴面 （Ⅱ）设为的中点 ∵为的中点 ∴ ∴面 作，交于，连结，则由三垂线定理得 从而为二面角的平面角。 在中，，从而 在中， 故：二面角的大小为。 （Ⅲ） 作，交于，由面得 ∴面 ∴在中， ∴。 2． 如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱． （1）证明//平面； （2）设，证明平面． 【解】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力. （Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM. 在矩形ABCD中。 ，又， 则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中， 且. 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM 而FM∩CD=M， ∴CD⊥平面EOM， 从而CD⊥EO.而， 所以EO⊥平面CDF. 3．【06浙江·理】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ， 底面，且， 分别为、的中点。 （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角。 【解】 （ = 1 \* ROMAN I）因为是的中点，，所以. 因为平面，所以， 从而平面.因为平面，所以. （ = 2 \* ROMAN II）取的中点，连结、， 则， 所以与平面所成的角和与平面所成的角相等. 因为平面， 所以是与平面所成的角. 在中，。 故与平面所成的角是。 4． 如图（上右图），在正四棱柱中， ，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求： （Ⅰ）异面直线与所成角的大小； （Ⅱ）二面角的正切值； 【解】（Ⅰ）由为异面直线所成的角。连接.因为AE和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得,再由∽得 在。 （Ⅱ）作 为二面角即二面角的平面角 在， 从而 5． 如图，在四棱锥中，底面ABCD，为直 角，,E、F分别为、中点。 （I）试证：平面； 【解】 （I）证：由已知且为直角。故ABFD是矩形。从而。又底面ABCD，，故由三垂线定理知。在Rt中，E、F分别为PC、CD的中点，故EF//PD,从而，由此得面BEF。 6． 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。 【解】 （I）证明：连结OC 在中，由已知可得 而 即 平面 （II） 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中， 是直角斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III） 设点E到平面ACD的距离为 ， ∴ 在中， 而 点E到平面ACD的距离为 7． 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m， （ = 1 \* ROMAN I）试确定m，使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为； （Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。 【解】：（ = 1 \* ROMAN I） 故。所以。 又. 故 在△，即. 故当时，直线。 （Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而 8． 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。 （Ⅰ）求二面角的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点到平面的距离。 【解】（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AM,所以AM面， 从而AM, AMNM，所以为二面角的平面角。又=，MN=, 连，得＝， 在中，由余弦定理得 。 故所求二面角的平面角的余弦值为。 （Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，＝。故点到平面AMN的距离为1。 9．【06江西·文】 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。 （1）求O点到面ABC的距离； （2）求异面直线BE与AC所成的角； （3）求二面角的大小。 【解】（1）取BC的中点D，连AD、OD。 ，则 ∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离