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第二章 函数概念与基本初等函数
§2.1 映射、函数、反函数
一、知识导学
1.映射:一般地,设A、B两个集合,如果按照某种对应法则 ,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射,记作f:A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)
2.函数: 设A,B都是非空的数集,如果按某种对应法则,对于集合A中每一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,且B中每一个元素都的原象,这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数,记作 .
其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域.
对于A中的每一个,都有一个输出值与之对应,我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域.
3.反函数:一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出来,得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x在A中都有唯一的值和它对应,那么x=f-1(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
二、疑难知识导析
1.对映射概念的认识
(1) 与 是不同的,即 与 上有序的.或者说:映射是有方向的,
(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说:允许集合B中有剩留元素;允许多对一,不允许一对多.
(3)集合A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
(1)对函数符号 的理解知道 y=与 的含义是一样的,它们都表示 是 的函数,其中 是自变量,是函数值,连接的纽带是法则 .是单值对应.
(2)注意定义中的集合 A,B都是非空的数集,而不能是其他集合;
(3)函数的三种表示法:解析法,列表法,和图像法.
3.对反函数概念的认识
(1)函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反函数;
(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求,而应该通过原函数的值域而得.
(3)互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于y=x对称.
三、经典例题导讲
[例1]设M={a,b,c},N={-2,0,2},求(1)从M到N的映射种数;
(2)从M到N的映射满足 (a)(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.
错解:(1)由于M={a,b,c},N={-2,0,2},结合映射的概念,有
,共6个映射
(2)由(1)得满足条件的映射仅有一种情况
错因:没有找全满足条件的映射个数,关健是对概念认识不清
正解:(1)由于M={a,b,c},N={-2,0,2},结合映射的概念,有
一共有27个映射
(2)符合条件的映射共有4个
[例2]已知函数的定义域为[0,1],求函数的定义域
错解:由于函数的定义域为[0,1],即,
∴的定义域是[1,2]
错因:对函数定义域理解不透,不明白与定义域之间的区别与联系,其实在这里只要明白:中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.
正解:由于函数的定义域为[0,1],即∴满足
,∴的定义域是[-1,0]
[例3]已知:,求.
错解:∵ ,∴
故,∴=3-3=0.
错因:没有理解分段函数的意义,的自变量是3,应代入中去,而不是代入-5中,只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.
正解:∵ ,
∴===7-5=2
[例4]已知的反函数是,如果与的图像有交点,那么交点必在直线上,判断此命题是否正确?
错解:正确
错因:对互为反函数的图像关于直线对称这一性质理解不深,比如函数
的图像的交点中,点不在直线上,由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线上”是不正确的.
[例5]求函数,的值域.
错解:
又,的值域是
错因:对函数定义中,输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应,错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.
正解:配方,得
∵,对称轴是∴当时,函数取最小值为2,
的值域是
[例6]已知,求函数的解析式
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