极值点偏移---拐点偏移.docVIP

PAGE PAGE 1 极值点偏移问题专题——拐点偏移 例1已知函数，若正实数，满足， 求证:。 证明：注意到， ，，则（1,2）是图像的拐点，若拐点（1,2）也是的对称中心，则有，证明则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设，要证 ，，则 ， 得在上单增，有，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 极值点偏移（） 二次函数 2、拐点偏移 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010天津） 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）已知函数的图像与的图像关于直线对称，证明：当时，； （3）如果，且，证明：．点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下： 例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数，已知，，证明． 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1），的范围； （2）不等式； （3）将代入（2）中不等式，结合的单调性获证结论． 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题． 例2（2016新课标Ⅰ卷）已知函数有两个零点． （1）求的取值范围； （2）设，是的两个零点，证明：． 解：（1），过程略； （2）由（1）知在上，在上，由，可设． 构造辅助函数 当时，，，则，得在上，又，故，即． 将代入上述不等式中得，又，，在上，故，． 通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解． 但极值点偏移问题的结论不一定总是，也可以是，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程． 例3 已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：． 证明：（i），得在上，在上；当时，；；当时，；当时，（洛必达法则）；当时，，于是的图像如下，得． 小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步： step1：求导，获得的单调性，极值情况，作出的图像，由得，的取值范围（数形结合）； step2：构造辅助函数（对结论，构造；对结论，构造），求导，限定范围（或的范围），判定符号，获得不等式； step3：代入（或），利用及的单调性证明最终结论．