流体动力学积分形式的基本方程.pdf

第二章 流体动力学积分形式的 基本方程 §2-1质点导数 定义：流体质点的物理量对于时间的变化率 对于拉格朗日法，概念简单，表达自然 如： ∂V (a, b , c, t) a(a, b , c, t) ∂t 欧拉法中， V = V(q , q , q , t) 1 2 3 ∂V (q , q , q ) ∂t 表示在固定空间点 1 2 3 上流体的速度对于时 间的变化率 • 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例： 已知速度场，t 时刻空间点 p (x , y , z ) 上的流体质 V = V(x , y , z , t) ∆t 点 p ，经过 ， ′ p → p (x + u∆t, y + v∆t , z + w∆t, t) 位移为： V∆t 质点速度 V ′ = V (x + u∆t, y + v∆t , z + w∆t, t) p ∆ V = V ′ − V p p V(x =+ u∆t, y + v∆t, z + w∆t, t) − V (x , y , z , t) ∂V ∂V ∂V ∂V 2 ∆ V = u∆t + v∆t + w∆t + ∆t + o(∆t ) 泰勒级数展开： ∂x ∂y ∂z ∂t ∂V 2 ( =+ Vi∇ V)∆t + o(∆t ) ∂t 速度对时间的变化率=速度的质点导数=质点的加速度 按定义： ∆ V ∂V a = lim =+ V i∇ V ( ) ∆t→0 ∆t ∂t D V ⎛ ∂ ⎞ a = ⎜ =+V i∇ ⎟ V Dt ⎝ ∂t ⎠ D ⎛ ∂ ⎞ Dt ⎜ ∂t =+ Vi∇ ⎟ 称为质点导数算子 ⎝ ⎠ ∂V 其中 ∂t 为当地加速度，反映流场的不定常性 (Vi∇) V 为迁移加速度（对流），反映流场的不均匀性 对任一物理量B的质点导数： DB ⎛ ∂ ⎞ ⎜ =+ Vi∇ ⎟ B Dt ⎝ ∂t ⎠ • 在任意正交曲线坐标系中 D ∂ ∂