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三角形全等
一、【知识点梳理】
知识点 :三角形全等的性质与判定
1、全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等.
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
(3)全等三角形的周长等、面积等.
失分点警示:运用全等三角形的性质时,要注意找准对应边与对应角.
2、三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS(三边对应相等)
SAS(两边和它们的夹角对应相等)
ASA(两角和它们的夹角对应相等)
AAS(两角和其中一个角的对边对应相等)
失分点警示
如图,SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等(HL)
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS.
3、全等三角形的运用
(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:将特征的边或角放到两个全等的三角形中,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
(2)全等三角形中的辅助线的作法:
①直接连接法:如图①,连接公共边,构造全等.
②倍长中线法:用于证明线段的不等关系,如图②,由SAS可得△ACD≌△EBD,则AC=BE.在△ABE中,AB+BE>AE,即AB+AC>2AD.
③截长补短法:适合证明线段的和差关系,如图③、④.
例:
如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=3.
二、【近几年真题再现】
1、(2016泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为( )
A.44° B.66° C.88° D.92°
2、(2010泰安)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P、Q分别是AB、AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形;
3.(2015)如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.
求证:(1)DF=AE;
4.(2014年泰安)如图,∠ABC=90°,D、E分别在BC、AC上,AD⊥DE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.
(1)求证:∠FMC=∠FCM;
三、【考点训练】
考点一: 全等三角形的性质及判定常规题目
1.在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°.
求证:△AEF≌△BCF.
【解答】证明:∵AD⊥BC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠BFC=∠ADB=90°,
∴∠C+∠CBF=90°,∠C+∠EAF=90°,
∴∠CBF=∠EAF,
∵∠AFB=90°,∠BAC=45°,
∴∠ABF=∠BAF=45°,
∴AF=BF,
在△AEF和△BCF中,
,
∴△AEF≌△BCF(ASA).
【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理,三角形内角和定理,垂直定义的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
2.如图:已知∠DAE=∠CBE,EA=EB,求证:△ABD≌△BAC.(你能用一次全等就证出来吗?)
【分析】由EA=EB可求得∠EAB=∠EBA,结合条件证明△ABD≌△BAC.
【解答】证明:
∵EA=EB,
∴∠EAB=∠EBA,
∵∠DAE=∠CBE,
∴∠DAB=∠CBA,
在△ABD和△BAC中
∴△ABD≌△BAC(ASA).
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键.
3.如图,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,CF、BE相交于点D,且BD=CD.求证:AD平分∠BAC.
【分析】要证AD平分∠BAC,只需证DF=DE.可通过证△BDF≌△CDE(AAS)来实现.
根据已知条件,利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE,从而可得出AD平分∠BAC.
【解答】证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF与△CDE中,
,
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(AAS).
∴DF=DE,
∴AD是∠BAC的平分线.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识.发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键.
4.已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.
(1)求证:BF=AC;
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