创意平板折叠桌大学生数学建模全国一等奖论文.doc

创意平板折叠桌 摘要 折叠型实用工具是创新商品中的典型代表，具有体型小巧便于使用的优点。本文主要在三维直角坐标系下，讨论平板折叠桌的折叠动态过程以及折叠桌优化设计的相关问题。 对于问题一，根据桌面边缘方程和桌高，利用距离公式与直线方程，以最外侧木条的折叠角度为变量，求得折叠过程中，钢筋所在的直线方程，进而获得钢筋与各木条的交点，从而给出了木条所在直线方程。依据木条长度进一步得到动态变化的钢筋点坐标，也求得最外 侧木条旋转角为时，第木条末端点坐标为： ， ， 由不同的旋转角度，即可获得各木条末端的动态变化图。在此基础上，可求得开槽长度（见表格八）和桌角边缘线的参数方程。根据此模型，我们分别计算不同旋转角度下的的端点数据（见表格五、六），由此得到各木条的动态旋转过程。该模型的动态变化过程见图六至八，桌角边缘线的空间曲线见图九至十二。 对于问题二，当最外侧木条旋转角时，以和为决策变量（其中为最外侧木条钢筋点到上端点距离），求得各木条端点坐标及方程和木条下端点的动态坐标。进而得到目标函数：和以开槽长度的实际限制的约束条件： ， ， 由此，我们建立了一个非线性优化模型，经过适当化简，运用MATLAB软件，计算得以上模型中折叠桌最优设计加工参数为：木板长度，（即最外侧木条折叠角为左右），，开槽长度。 对于问题三，我们以椭圆形桌面为例，建立与问题二相同的决策变量，先求得在某个旋转角度下的钢筋点位置，以及下端点的动态坐标： 再用类似问题二的目标函数与约束条件，获得非线性优化模型。最后，我们设定长轴为，短轴为，高度为时，得到木板长度为，随之计算出不同角度下的开槽长度，其中最优为当时，桌面一侧总开槽长度为，并画出其折叠过程的动态示意图（见图十五）。 关键字：折叠椅、开槽长度、钢筋所在直线、非线性优化模型 一、问题重述 随着社会和科技的进步，消费者对于商品的要求越要越高，实用便捷又富有创意的商品往往受到大家的追捧，与此同时，丰厚的设计收益也不断推动着设计者的创新创作脚步。在这些新型商品中，可折叠的商品往往具有体型小巧便于携带，操作过程简单易懂，使用寿命较长，外形美观等优点，其中可折叠桌子就是一个突出创新成果。某公司的可折叠桌子，桌面呈圆形，桌腿由若干根木条组成，外形如直纹曲面，并且由于木条加工设有开槽，它随着铰链的活动可以平摊成一张平板。 本题要求我们建立数学模型，描述折叠桌子的折叠过程，并设计别的创新折叠桌，具体如下： 1. 给定折叠桌的数据：长方形平板尺寸为；木条宽；连接木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置；折叠后桌子的高度为。试建立模型描述折叠桌的折叠动态过程，并求出它的设计加工参数：桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线。 2.在满足产品稳固性好、加工方便、用材最少的条件下，对于桌高70 cm，桌面直径80 cm而其他设定不做要求的折叠桌，要怎么确定长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。现要求设计这一软件的数学模型，并根据所建立的模型给出几个新设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 二、模型假设 假设长方形平板加工切割成桌腿木条时没有切割多余材料，即确定有20条桌腿木条。 假设折叠过程中和折叠后，木条都没有发生形变。 问题二中，假设长方形木板切割成木条的条数仍为，木板的厚度仍为 三、符号说明 符号 符号说明 符号 符号说明 问题一 折叠过程桌腿与轴构成的夹角 问题二 第根木条上端点坐标 第条木条顶端坐标 第根木条的长度 旋转后第条木条钢筋位置的坐标 第根木条上的钢筋点的坐标 旋转后第条木条地面接触的末端坐标 第根木条上末端点到钢筋的距离 第条木条长度 第根木条上钢筋点到上端点的距离 第根木条折叠时的旋转平面 第根木条钢筋点到木条上端点的距离 折叠后第根木条钢筋点与顶端连接点的距离 第根木条开槽长度 折叠前第根木条钢筋点与顶端连接点的距离 问题三 椭圆的长轴 第根木条开槽长度 椭圆的短轴 四、问题分析 4.1问题一 4.1.1问题解读 据题意，同一块平板可由于桌面大小，桌子高度，桌腿条数，桌子稳定度等变量的参数不同而折叠成外形各不相同的折叠桌。（具体参数见图一）本问已经将这些影响因素设定了固定数据。在此问题中，我们应该选择一些变动点来体现动态过程。此外，折叠椅设计加工时需要在木条中某个区段开槽，以便折叠时中间的桌腿末端向内凹，而不至于因为钢筋而卡住。 （图一） 4.1.2解决思路 首先讨论折叠后的情形，折叠过程则再进一步由改变变动点的参数来