数学物理方法第8章.ppt

边界条件 例：在0?x?a 0?y?b 上求泊松方程边值问题 泊松方程 1）、寻找泊松方程的特解 解： 考虑 2）、泊松方程的转化为 其解 Fourier展开 最后得： 边界条件 例：研究半带形区域的电势 u(x, y) Laplace方程 解： 考虑 x y 0 等式右边作付氏展开 * * 由 关于T1的方程 取拉氏变换： 进行逆变换 这样，所求的解为： 冲量定理法要求初始条件全为零。 (二）、冲量定理法 可以分解为： uI、uII分别满足： 考虑强迫弦振动定解问题： f(x,t)表示单位质量所受的作用力，把这个力看作是无限多个瞬时力的叠加。 f(x, ?)d? 表示 d? 时间内的冲量 f(x, ?)δ(t-τ)d? 表示作用在? 时刻内的瞬时力，使得系统的速度有一定的增量 经过d? 时间后，这个瞬时力作用过了，故方程是齐次的。t=? 时瞬时力产生的速度增量可认为是 “初始 ”条件， 得到的关于? 时刻瞬时力引起的振动的定解方程为： 显然 令 将所有瞬时力产生的振动叠加，就得到持续力f(x,t)产生的振动 例：用冲量法求定解问题： 泛定方程 边界条件 初始条件 解： 用冲量法，上述定解问题变为 v 的定解问题 代入初始条件 有 有 于是 于是 输运方程也可以应用冲量定理法 将持续作用的热源产生的温度分布看作许许多多前后相继的“瞬时”热源产生的温度的叠加。 单位时间单位体积放出的热量： dτ时间内单位体积放出的热量： 引起的温度升高为： 作用于τ到τ+dτ时刻，过了这个时刻，瞬时热源不再起作用，看作初始条件。 所以u(τ)满足： 令： 将所有瞬时热源产生的温度叠加，就得到持续热源f(x,t)产生的温度分布。 例：求定解问题 解： 应用： 考虑定解问题： 泛定方程 边界条件 初始条件 用式 代入方程，不能分离变量 8.3 非齐次边界条件的处理 辅助函数w(x,t) 的选取 令 使 具有上述性质的w(x,t)有多个， 最简单选取关于x的线性函数 于是 1、一般处理方法： 定解问题成为： 泛定方程 边界条件 初始条件 弦两端固定 其它辅助函数的选取 泛定方程 边界条件 初始条件 令 使 2、特殊处理方法（特解法）： 泛定方程 边界条件 初始条件 解： 令 看例题：一端固定，一端作周期运动的弦振动 端点的振动引起的受迫振动，存在特解，满足齐次方程，非齐次边界条件，且与x=l同步振动。 故： 带入原方程和边界条件： 得： 令： 原定解问题成为： 例： 求定解问题： 将边界条件和方程同时齐次化： 令特解为： 带入边界条件： 令： 带入原定解问题，化为： 定解问题： 边界条件 8.4泊松方程 泊松方程 与时间无关 不管边界条件如何，令特解 v 若 就转化为 Laplace 方程 例：在圆域内求泊松方程边值问题 泊松方程 由对称性 1）、寻找泊松方程的特解 解： 考虑 令特解 v 2）、泊松方程的转化为 边界条件 泊松方程 为Laplace 方程 方程一般解 圆域内 代入边界条件 带入边界条件 小结： 边界条件 本征值 本征函数 方程： 第二个函数的解： 波动方程： 输运方程： 拉普拉斯方程： 例：铀块的中子扩散和增殖过程。每秒钟在单位体积中产生的中子数用 ?u 表示。研究厚为l的层状铀块。求临界厚度。 泛定方程 边界无中子流入与流出 分离变量，令： 带入原方程后得： 同除a2XT 浓度呈指数增加，发生爆炸 临界厚度 泛定方程 边界无杂质进入薄膜 有解 例：薄膜的限定源扩散，膜厚为l,膜两面的表层已有一定杂质，如每单位表面下杂质总量为 ，但此外不再有杂质进入薄膜。 每单位表面下杂质总量为 代入初始条件 例：输电线影响带电云层与地间的电场 柱外泛定方程 导体为等势体，不妨取零点在导体上 得 拉普拉斯方程在极坐标下的形式为 边界条件 空间一点电势为 u 无限远处，Ey=0, Ex=E0 即： 泛定方程 边界条件 令： 因为 称为自然周期条件 常微分方程 为欧拉方程 令 即 写成： 自然周期条件构成本征值问题，使得： 由边界条件 再看非齐次的边界条件，对于很大的ρ 由 若导体原来不带电，D0=0 最后得： D0不确定 导线带电产生的电势 与 相比 A ? A A B ? ? 如右图，A、B两点的电场强度为： Y轴上的电势为： 伸出两翼，不改变电场分布 例：没有初始条件的问题： 长为l的理想传输线，一段x=0接于交流电源，其电动势为v0sinωt，另一端x=l是开路，求解线上的稳恒电振荡。 例：稳恒电振荡，初始条件引起的振荡已经消失。 振荡完全由交流电源引起，所以周期与交流电源相同。