数学模型--投掷标枪.doc

PAGE 数学建模课程设计报告 标枪投掷模型 学 院 专 业 学 号 姓 名 指导教师 成 绩 教师评语： 指导教师签字： 2014年 FORMTEXT 7月FORMTEXT16日 数学与统计学院课程设计报告 第 PAGE 2 页 1 绪 论 1.1 课题的背景 标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，还与选手所采用的技术有关。而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。 建立标枪掷远模型。不考虑阻力，设标枪初速度为，出手高度为，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与，，的关系式，计算在确定的，下，计算最佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。 1.2 预备知识 上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。 2 计算机工具简介 MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。 3 模型的假设 3.1 模型假设 (1)标枪运行的过程中没有任何阻力； (2)可以将标枪看作一个质点； (3)投射角度与投射初速度是两个相互独立的量； (4)设当地的重力加速度为，且取值为9.8m/s，并在投掷的任意点都相等； (5)标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。 (6)不考虑标枪的旋转。 3.2 符号说明 ：标枪初速度； ：在水平方向上的分量； ：在竖直方向上的分量； ：重力加速度； ：投射高度； ：出手角度； ：标枪运行的时间； ：标枪在水平方向的位移（即为投掷距离）； ：标枪在竖直方向的位移。 4 模型的建立与求解 一、 在确定的，下计算最佳出手角度 由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度和出手高度一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直两个方向进行分析，标枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动，加速度为。所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图1所示。 图4.1 标枪投掷轨迹图 出手时的速度可以分解为： 水平方向： 垂直方向： 则有水平位移和竖直位移分别为： 消去，有 令方程中的为0，有： 舍去负根，有： 取=1.8m, =10m/s，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。 a = [0:0.01:1.57] x = (25.*sin(2*a))./19.6 + sqrt(((25.*sin(2*a))./19.6).*((25.*sin(2*a))./19.6) + (360.*(cos(a)).*(cos(a)))./9.8) plot(a, x) title(标枪投掷距离与出手角度的关系) xlabel(出手角度) ylabel(投掷距离) grid 结果如图4.2所示： 图 4.2 标枪投掷距离与出手角度的关系图 由图可知，最大值的坐标为（0.40, 6.50）。 二、 研究不同的出手速度下最佳的出手角度 当和一定时，研究的变化对出手角度的影响。便为关于的函数，即： 则对求一阶导数为： 令，有： 解得： 所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，为最佳出手角度。 将上式代入 中，得： Matlab命令： 1.在给定出手速度v下要达到最大射程时对应的角度 函数文件： function f=fun_sv(v) f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v))/pi*180; 绘出图像： fplot(fun_sv,[0,100]); xlabel(速度V m/s); ylabel(角度); title(v不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线 ); axis([0 50 0