常数项级数的敛散性判别法.ppt

第二讲 常数项级数的敛散性判别法 一、正项级数及其敛散性判别法 二、交错级数及其敛散性的判别法 三、绝对收敛与条件收敛 小 结 内容提要 1．正项级数及其审敛法； 2．交错级数判别方法； 3. 绝对收敛与条件收敛. 教学要求 1．掌握正项级数的比较判别法； 2．熟悉比值判别法，了解根值判别法； 3．掌握交错级数判别方法； 4. 判断级数的绝对收敛与条件收敛. 1.定义: 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: 定理 部分和数列 为单调增加数列. 证明 即部分和数列有界 3.比较判别法 不是有界数列 定理证毕. 比较判别法的不便: 须有参考级数. 解 由图可知 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 证明 4.比较判别法的极限形式: 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 解 原级数发散. 故原级数收敛. 证明 收敛 发散 比值判别法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 解 比值判别法失效, 改用比较判别法 级数收敛. 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 证明 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 解 原级数收敛. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 证明 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 解 故由定理知原级数绝对收敛. 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; * * * *