工程高等代数答案--习题六.docVIP

PAGE PAGE 26 习 题 六 A 组 1．填空题 （1）已知向量，则　　　　． 解　． （2）设，为正交矩阵，则　　　　． 解　． （3）设为阶可逆矩阵，，则的特征值为　　　　． 解　． （4）已知阶方阵的特征值分别为，则矩阵的特征值是　　　　，　　　　． 解　． （5）如果阶矩阵的元素全为，那么的个特征值是　　　　． 解　． （6）矩阵的非零特征值是　　　　． 解 ． （7）设，，其中为三阶可逆矩阵,　则　　　　． 解 ． （8） 设是实正交矩阵，且，，则线性方程组的解是　　　　． 解 ． （9）二次型的矩阵是　　　　． 解　． （10）二次型的秩是　　　　． 解　． （11）二次型的秩为　　　　． 解 ． （12）二次型是正定的充分必要条件是实对称矩阵的特征值都是　　　　． 解　正数． 2．选择题 （1）已知，则向量与的夹角为　　　　． （A）； （B）； （C）； （D）． 解 （C）． （2）阶方阵的两个不同的特征值所对应的特征向量　　　　． （A）线性相关； （B）线性无关； （C）正交； （D）内积为1． 解 （B）． （3）设为三阶可逆矩阵，，是的三个特征值，则的值为　　　　． （A）1；　　 （B）10；　 （C）15；　　 （D）19． 解 （C）． （4）设为可逆矩阵，，，则矩阵的特征值和特征向量分别是　　　　． （A）和； 　 （B）和；　 　（C）和； （D）和． 解 （C）． （5）设是阶实对陈矩阵，是阶可逆矩阵．已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是　　　　． （A）； （B）； （C）； （D）． 解 （B）． （6）设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是　　　　． （A）； （B）； （C）； （D）． 解 （B）． （7）设，为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则下列命题正确的是　　　　． （A）； （B）与有相同的特征值与特征向量； （C）与都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数，与相似． 解 （D）． （8）阶方阵具有个不同的特征值是与对角矩阵相似的　　　　． （A）充分必要条件； （B）充分非必要条件； （C）必要非充分条件； （D）既非充分也非必要条件． 解 （B）． （9）设矩阵，已知矩阵相似于，则与之和等于　　　　． （A）2； （B）3； 　 （C）4；　 （D）5． 解 （C）． （10）设，，则与　　　　． （A）合同且相似； （B）合同但不相似； （Ｃ）不合同但相似； （Ｄ）不合同且不相似． 解 （A）． （11）二次型经正交变换可以化成标准形，则的值是　　　　． （A）； （B）；　 （C）； （D）无法确定． 解 （B）． 3．利用Schimidt正交化方法将下列向量组规范正交化． （1） ； 解 先正交化 ， ， ， 再单位化得 ． （2） 矩阵的列向量组． 解 先正交化， ， ， ． 再单位化得 ， ． 4．设向量，求非零向量，，使得，，是正交向量组． 解 根据题意，，应满足方程，即．解得基础解系为和．正交化得到 ． 5．求下列矩阵的特征值和特征向量． （1）； （2）； （3）． 解　（1）特征多项式为，得到特征值为． 对于，解齐次线性方程组，得基础解系，对应的特征向量可取． 对于，解齐次线性方程组，得基础解系，对应的特征向量可取． （2）特征多项式为 ， 得到特征值为值． 对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系，对应的特征向量可取． 对于，解齐次线性方程组，得基础解系，对应的特征向量可取． （3）特征多项式为，得到特征值为． 对于，解齐次线性方程组，得基础解系，特征向量为． 对于，解齐次线性方程组，得基础解系，特征向量为． 对于，解齐次线性方程