工程数学讲义第4章.pptVIP

P75.8 例 求二项分布的数学期望 若 X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数 X~B(n, p)， 设 则 X= X1+X2+…+Xn i=1,2，…，n P75.9 可见服从参数为n和p的二项分布 的随机变量X的数学期望是np. = np 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p 所以 E(X)= E(Xi)= = p P76.11 一台设备由三部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10 ,0.20和0.30。假设每台部件的状态是相互独立的。(2)以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期望。 设 则 X= X1+X2+X3 i=1,2,3 EX= EX1+EX2+EX3 4.2 方差 我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值 是不够的. 引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹, 每发子弹击中的环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？ 解 首先比较平均环数 甲 = 8.3, 乙 = 8.3 有五个不同数 有 四 个 不 同 数 再比较稳定程度 甲： 乙： 乙比甲技术稳定，故乙技术较好. 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们要介绍的 方差 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 称 为 X 的均方差或标准差. 1. 方差概念 定义 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 V (X ) D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 由定义知，方差是随机变量X的 函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . 计算方差的一个简化公式 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 期望性质 * * 应用概率统计 主讲 叶宏 山东大学数学院 教材: 《应用概率统计》 陈魁编著 辅导书:《概率论与数理统计习题精选精解》 张天德叶宏主编 第四章 随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特性也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 例如 考察某型号电视机的质量： 平均寿命18000小时±200小时. 考察一射手的水平: 既要看他的平均环数是 否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的 波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地 描述随机变量在某些方面的重要特征, 这些数 字特征在理论和实践上都具有重要意义. r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 4.1 随机变量的数学期望 例 用分布列表示 设 X 为离散 r.v. 其分布列为 若无穷级数 其和为 X 的数学期望，记作 E( X ), 即 1. 数学期望的定义 绝对收敛, 则称 定义1 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 定义2 P86.1 设随机变量 X 的分布律为 求 例 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 特例 若X ~ B ( 1 , p ), 则 E(X) 例 X ~ P (λ), 求 E( X ) . 例3 设r.v X服从几何分布， P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…， 其中0p1,求E(X) 解： 记q=1-p 求和与求导 交换次序 等比级数 求和公式 例 X ~ E (λ) , 求 E( X ) . 例 X ~ N ( ? , ?