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近世代数部分习题参考答案
第11 章 半群和幺半群
11.3.5
证明：设 为有限半群，且 。设b ∈S ，则可得： 1 2 n n+1
, ) S | n b ,b , ,b ,b ∈S
(S |
由 的有限性知， 使得 j i ，不妨设 ，即 ， 。
S ] b b j i j i +k k 0
, 1
, [1
∃ ∈ +
i j n
从而有： i k i ,则两边同时不断左乘 使得 p k p ，且满足 ，
b b b b b b b p q ⋅k
从而bp bp bk (bp bk ) bk bp b2k bp bqk ，即bp bp bp ，令
a bp 即可。
11.3.8
证明：
1）结合律：由集合论知识知集合的对称差运算 满足结合律，故(2S , ∆) 为半
∆
群；
2）单位元：对∀A ∈2S 有φ∆A A∆φ A ；
3）逆元：对∀A ∈2S 有 ∆ φ ，即为自身。
A∆A A A
故(2S , ∆) 为群。
11.4.1
{ , , , , 1}
证明：记H x ∃a a a ∈A 使x a a a n ≥ ，下证G A H ,根据
1 2 1 2 n ( )
n
的定义即证 为 的生成子半群。
G(A) H A
先证 为包含 的子半群。
H A
① 显然 （令 即可知），
A ⊆H n 1
② 在 上的运算封闭：对 ，有 ， ，其中
H ∀x , y ∈H x a a a y b b b
1 2 n 1 2 m
a ,b ∈A 。从而x y ∈H 。
i j
故 为包含 的子半群。
H A
③ 下证 即为 的生成子半群。
H A
设 为包含 的任意一个子半群，下证H ⊆P 。
P A
对 ∀x ∈H ， ∃a1 , a2 , , ai ∈A 使得 x a1a2 ai ，又 A ⊆P ，所以
a , a , , a ∈P ，则由 为子半群知a a a ∈P ，即x ∈P ，所以H ⊆P 。
P
1 2 i 1 2
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