电磁场2静态场教学版.ppt

四、静电场中的导体和介质 根据电场在物质中的表现，物质可分为导电媒质（也称导体）和电介质（简称介质）。 导电媒质：其物质中内部存在大量的自由电荷，在电场的作用下，自由电荷会产生自由运动的电流，所以往往称导电媒质为导电体。 电介质：物质体内没有自由运动的电荷，或者自由电荷非常少，以至于可以忽略不计。介质中的电子被束缚在原子核周围，只能在原子核周围有很小的位移，称为束缚电荷 ，因此介质不导电。 旋度的性质 (1) 旋度的散度恒等于0，即 结论：对于一个散度为0的矢量场，可以将其表示为一个矢量的旋度： ，则 (2) 标量的梯度的旋度恒为0，即 结论：对于一个旋度为0的矢量场，可以将其表示为某一标量的梯度： ，则 因此，像这类问题，就不能按分布型问题求解；同时由于不 具有对称性，也无法用积分方程求解，所以只能求解场方程。这 样，要得到场的唯一确定解，就需要足够的已知条件。静态场所 需的已知条件是场量在边界上的值，称为场的边值。根据场方程 和边值来求场分布的问题就称为场的边值问题。对于时变场，除 边值之外还需要初始条件，即初值，才能按场的时变规律推出一 段时间之后的场分布。 静态场的位函数方程比场矢量方程简单，所以可先求解位函 数，再由位函数求解场矢量。 — 2.7 静态场的边值问题 标量电位函数 满足泊松方程或拉普拉斯方程，而标量磁位 函数 只满足拉普拉斯方程，矢量磁位函数 A 满足矢量泊松方 程或矢量拉普拉斯方程。位函数方程与位函数的边值一起构成位 函数的边值问题。 因此，求解静态场分布的问题最终转化成求解位函数的边值 问题。位函数方程是偏微分方程，其边值保证偏微分方程的解是 唯一的。所以，位函数的边值问题的本质就是求解偏微分方程的 定解问题。 — 2.7 静态场的边值问题 位函数的边值有三种形式，所以边值问题也相应地分成如下三类： 第一类边值问题是整个边界上的位函数值是已知的，又称为狄利克莱(Dirichlet)问题。 第二类边值问题是整个边界上的位函数的法向导数值是已知的，又称为诺伊曼(Neumann)问题。 第三类边值问题是已知一部分边界上的位函数值，以及另一部分边界上的位函数的法向导数值，又称为混合问题。 — 2.7 静态场的边值问题 下面我们用电位函数来说明。对第一类边值问题： 其中，最后一个边值不是原问题给出的，而是根据场的特点确定的，此边值称为自然边值。 在求解无界区域的边值问题时，自然边值很重要，没有它就 不能得到场的唯一解，它一般根据经验确定。对于电位问题，一 般选定 ，即将电位的参考零点选在无穷远处。 — 2.7 静态场的边值问题 若给定电位的法向导数值，则称为第二类边值问题，可表示 为下左式。式中， 是 S 面的法向单位矢量。 类似地，可写出第三类边值问题的形式，表示为右式。 — 2.7 静态场的边值问题 二、唯一性原理 边值问题就是偏微分方程的定解问题。因此要考虑解的存在 性、唯一性和稳定性。实际物理问题的解一般都是存在的、稳定 的，但解的唯一性要证明。实际上，前面所讨论的三类边值问题 都有唯一解，这个结论称为唯一性定理。我们用反证法来证明。 — 2.7 静态场的边值问题 设 是同一边值问题的解，则它们都应满足： 令 ，则有： 根据格林第一公式 令公式中 ，则有： 对于第一类边值问题， 在边界 S 上都等于 ，所以 在边界 S 上满足 ，所以有： 要使上式对任意 V 都成立，必有 ，即 ( C 为常数)。因为在边界 S 上有 ，且 在区域 V 内有 ，所以即 ，则 。因此，第一类边值问题的解是唯一的。 — 2.7 静态场的边值问题 五、恒定磁场的基本方程 恒定磁场是由恒定电流(包括传导电流和束缚电流)产生的磁 场，遵循安培环路定律和磁通连续性原理，这两个定律均可以用 积分形式和微分形式来表示，构成了恒定磁场的基本