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采用最小二乘法建立平面坐标系统转换公式
吉渊明 浙江省测绘产品质量监督检验站 310012 杭州
[提要]本文采用最小二乘法推导了平面坐标系统转换公式,坐标转换严密,计算简便,可供生产单位参考。
关键词:坐标转换 转换参数 最小二乘法
引言
随着城市建设及规划管理的快速发展,许多城市建立了统一的坐标系统,采用GPS技术把原有相对独立的控制网纳入统一的坐标系统中。虽然采用GPS技术可以方便地联测部分原有首级控制网点,但几十年的城市规划建设基础资料全面更新也不现实。因此,生产实践迫切需要我们更深入地研究平面坐标系统之间的相互转换问题。建立平面坐标系统转换公式作为数学基础在计算机上实现批量转换,为地方政府节省大量财力。
本文试图采用严密的最小二乘法推导平面坐标系统转换公式,从大量的数据经过替换、组合得到了一个简单明了的算术公式,我觉得值得向各位同行介绍,特别是正在实施控制网改造的有关部门。
平面坐标系统相互转换的数学模型
如果需要将某个平面坐标系统转换为另一个平面坐标系统,我们称前者为原始坐标系,记为(x,y);后者为目标坐标系,记为(X,Y)。那么坐标转换数学模型为:
X=△x+(1+k)(cosαx+sinαy)
Y=△y+(1+k)(- sinαx+cosαy) (2—1)
其中(△x,△y)为平移因子,α为旋转因子,k为尺度因子。
令:△x=a
△y=b
(1+k) cosα=c
(1+k) sinα=d (2—2)
那么(2—1)式可简写为:
X=a+cx+dy
Y=b-dx+cy (2—3)
只要已知二个点的原始坐标和目标坐标,就可以很容易地求解线性方程(2—3)式得到a、b、c、d四个转换参数。如果已知二个以上重合点坐标,采用经典最小二乘法求解法方程得到四个参数值。
利用a、b、c、d四个转换参数可得到四个转换因子:
△x=a
△y=b
α=arctan(d/c)
k=√(c2+d2)-1 (2—4)
采用最小二乘法建立平面坐标系统转换公式
如果已知二个以上重合点坐标时,(2—3)式可写为:
Xi+Vxi=a+cxi+dyi
Yi+Vyi=b-dxi+cyi i=1,2,3…n (3—1)
其中Vxi、Vyi为残差。
根据给定的n组重合点坐标(xi,yi)、(Xi,Yi),用最小二乘估计的方法,即在偏差平方和[Vxi2+ Vyi2]为最小要求下求未知参数a、b、c、d的估值。
为计算方便,采用坐标中心化建立平面坐标系统转换条件式:
令Xi'=Xi-X0 xi'=xi-x0
Yi'=Yi-Y0 yi'=yi-y0 (3—2)
其中X0=[X]/n Y0=[Y]/n x0=[x]/n y0=[y]/n
由此可知:[X']=0 [Y']=0 [x']=0 [y']=0 (3—3)
那么平面坐标系统转换条件式可写为:
Xi'+Vxi=a'+c'xi'+d'yi'
Yi'+Vyi=b'-d'xi'+c'yi' i=1,2,3…n (3—4)
用矩阵形式表示:
V=BX+L (3—5)
其中:
Vx1 1 0 x1' y1' -X1'
Vy1 0 1 y1'-x1' -Y1'
Vx2 1 0 x2' y2' -X2'
Vy2 0 1 y2'-x2' a' -Y2'
。 。 。 。 。 b' 。
V= 。 B= 。 。 。 。 X= c' L= 。
。
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