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初三几何证明经典大题
1.点A、B、C在同一直线上,在直线AC的同侧作和,连接AF,CE.取AF、CE的中点M、N,连接BM,BN, MN.
(1)若和是等腰直角三角形,且(如图1),则是 三角形.
(2)在和中,若BA=BE,BC=BF,且,(如图2),则是 三角形,且 .
(3)若将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3),其他条件不变,那么(2)中的结论是否成立? 若成立,给出你的证明;若不成立,写出正确的结论并给出证明.
解:(1)等腰直角
(2)等腰
(3)结论仍然成立
证明: 在
∴△ABF≌△EBC.
∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB
∵M,N分别是AF、CE的中点,
∴FM=CN.
∴△MFB≌△NCB.
∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=
2.如图,将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究:设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与PB之间有怎样的数量关系?试证明你的猜想;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出函数自变量x的取值范围;
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值,如果不可能,试说明理由.
(1) PQ=PB
过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N
在正方形ABCD中,AC为对角线
∴AM=PM
又∵AB=MN
∴MB=PN
∵∠BPQ=900
∴∠BPM+∠NPQ=900
又∵∠MBP+∠BPM =900
∴∠MBP= ∠NPQ
∴Rt△MBP≌Rt△NPQ,
∴PB=PQ
(2)∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ
∵ AP=x
∴ AM=x
∴CQ=CD-2NQ =1-x
又∵S△PBC=BC·BM=·1·(1-x)= -x
S△PCQ =CQ·PN=(1-x)·(1-x)
=-+
∴S四边形PBCQ=-x+1 . (0≤x≤)
(3)△PCQ可能成为等腰三角形.
① 当点P与点A重合时,点Q与点D重合,
PQ=QC ,此时,x=0.
② 当点Q在DC的延长线上,且CP=CQ时,
有:QN=AM=PM=,CP=-x,
CN==1-
CQ=QN-CN =-(1-)
=x-1
∴ 当 -x=-1时 ,x=1
3.(1)如图1,四边形中,,,,请你猜想线段、之和与线段的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,四边形中,,,若点为四边形内一点,且,请你猜想线段、、之和与线段的数量关系,并证明你的结论.
图1
图1
图
图2
解:(1)如图1,延长至,使.
可证明是等边三角形.
联结,可证明≌.
故.
图
图1
图2
(2)如图2,在四边形外侧作正三角形,
可证明≌,得.
∵ 四边形符合(1)中条件,
∴ .
联结,
ⅰ)若满足题中条件的点在上,
则.
∴ .
∴ .
ⅱ)若满足题中条件的点不在上,
∵ ,
∴ .
∴ .综上,.
4. (1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:EF=BE+FD;
(2) 如图2在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立?不用证明.
(3) 如图25-3在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
(1)证明:延长EB到G,使BG=DF,联结AG.
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°, AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴A
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