初中数学例说代数方程在几何计算题中的应用.doc

PAGE PAGE 4 初中数学例说代数方程在几何计算题中的应用 几何计算题，是在给定的已知条件下，求某些线段的长度、角的度数、两条线段的比值、图形的面积等等，它的基本问题是求线段的长度和角的大小。怎样利用方程思想去解答几何计算题？我们一般先设要求的线段的长度或角的度数为未知数，设法把其他有关的量用含未知数的代数式表示，然后把它们代入到等量关系中，建立一个代数方程或方程组，最后通过解方程或方程组得到所要求的结果。 一、求线段的长度 例1 如图1，四边形ABCD是矩形，AD＝10，DC＝8，以DF为折痕把Rt△ADF折叠，使点A落在BC上的点E处，求BF的长。 解析：要求BF的长，可把它放到Rt△BEF中去考虑，根据已知条件及观察图形，可以发现Rt△ADF≌Rt△EDF， 因此DE＝AD＝10， 故 在Rt△BEF中，设BF＝x， 则EF＝AF＝8－x， 又BE＝4，根据勾股定理 得方程 解方程得，即BF的长为3。 例2 如图2，六边形ABCDEF由五个相同的正方形组成，正方形的边长为1cm，过点A的一条直线和ED、CD分别相交于点M、N，若这个六边形在直线MN两侧的部分有相等的面积，则EM的长度是___________。 解析：设， 则由△AQM∽△NPA， 得 即， ① 又由△MND的面积得 即 将①代入，可得。 ② 由①与②可知，x、y是一元二次方程的两个根，解此方程得 或， 因为，即， 所以 故 二、求角的度数 例3 如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是（ ） A. 80° B. 50° C. 40° D. 20° 解析：因为要求的是∠CAB的度数，又已知∠ADC＝30°，所以选择△ADC的内角和等于180°为等量关系。 设∠CAB＝x，因为DA是∠BAC的平分线， 所以∠CAD＝。 因为AB＝AC， 所以∠ACD＝（180°－x）。 于是可得方程， 解方程得x＝20°，即∠CAB＝30°，故选D。 例4 如图4所示，△ABC中，∠B＝∠C，D在BC上，E在AC上，∠BAD＝50°，AE＝AD，求∠EDC的度数。 解析：设∠EDC＝x°，∠B＝∠C＝y°，由AE＝AD， 得∠ADE＝∠AED＝x＋y， 所以∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝x＋y＋x＝2x＋y。 又因为∠ADC是△ADB的一个外角， 所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝y＋50°， 于是得方程， 解方程得x＝25°。 三、求图形的面积 例5 如图5，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，求四边形AEFD的面积。 解析：要求的是四边形AEFD的面积，而已知的是△BEF、△CDF、△BCF的面积，可用分割求和的方法。连接AF，将四边形AEFD分割成两个三角形：△AEF、△ADF。设，如果能求出x、y，则四边形AEFD的面积可求。因为△ABF与△ADF同高，△AEF和△ACF同高，所以易得方程组 解方程组得，所以四边形AEFD的面积为22。 例6 如图6，一个矩形被分成六个大小不一的正方形，现在只知道中央小正方形的面积是1，求整个矩形的面积。 解析：图中每个小正方形之间多存在着互相依赖关系，我们只要设右下角小正方形的边长为x，则其他小正方形的边长多可以用含x的代数式表示（见图6），考虑图中最大的正方形的边长， 则有，解得。 所以矩形的面积 例7 如图7，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB＝2km，BC＝3km，在B村的正北方向有一D村，测得∠ADC＝45°，今将△ADC区域规划为开发区，除其中的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求此建筑及绿化用地的面积。 解析：注意题目的条件∠ADC＝45°，如果将Rt△ABD与Rt△CBD分别沿AD、CD对折，得Rt△AED与Rt△CFD，再延长EA、FC相交于G。 显然Rt△AED≌Rt△ABD， Rt△CFD≌Rt△CBD， 所以∠E＝∠F＝90°，∠EDF＝2∠ADC＝90°，ED＝BD＝FD， 即四边形DEGF是正方形。 设BD＝x（km），则 在Rt△ACG中， 有， 即， 解得x＝6或（不合题意，舍去）。 所以， 建筑用地及绿化用地的面积为。