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数学建模 军事模型 数学建模 数学建模 数 学 建 模 ——从自然走向理性之路 第四讲 军事模型 【主要内容】 介绍军事模型，包括： Lanchester 作战模 型、核武器竞赛模型和军备竞赛模型 【主要目的】 了解数学建模方法在军事研究中的应用， 建模思路和方法为用数学模型讨论社会领 域的实际问题提供了可借鉴的示例。 Lanchester 作战模型 第一次世界大战时Lanchester提出的预测战役结局的模型。 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力—因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力—与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型 （正规战、游击战）等有关。 模型没有考虑交战双方的政治、经济、 社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。 一般战争模型 用x( t )?和y( t )?表示甲乙交战双方 t 时刻的兵力 假设 1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用f ( x, y ) 和? g( x, y ) 表示。 2. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵力成正比。 3. 每一方的增援率是给定的函数，用u( t )?和v( t )? 表示。 由此可以写出用微分方程表示的模型 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率 f ( x, y )和?g( x, y ) 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。 正规战模型 甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的战斗减员率f ( x, y ) ?. f 可简单假设为 f ＝ay 其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位 时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数。 a ＝ ry py 其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数) py—乙方的命中率 类似地，乙方的战斗减员率设为 ? g = bx 且甲方的战斗有效系数 b = rx px ? rx和 px 是甲方的射击率和命中率。于是 忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为 不解方程，在相平面上讨论相轨线的变化规律 。 由(5)式确定的相轨线是双曲线族，如图 乙方获胜条件： k 0 ——平方律模型 图?1. 正规战模型的相轨线 游击战模型 甲乙双方都用游击部队作战。 甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的增加而增加。 f 可简单假设为 f ＝cxy 其中：c —乙方的战斗有效系数。