数学模型投篮出手角度问题.doc

投篮的出手角度问题 摘 要 本文建立了一个反映投篮的出手角度问题的数学模型，该模型以在给定的条件研究投篮出手角度，入射角度以及它们的最大偏差，出手速度和球心命中篮筐的条件，出手的高度、角度、速度是影响投篮命中率的主要因素。用建立数学模型的方法计算出相关的数据，使三者紧密联系。研究目的是分析出出手速度、角度和高度之间的关系，在实际操作中用此科学数据为参考依据，进行有针对性的练习，以求达到快速提高投篮命中率的目的，最后，对一个给定的实例作出了详细的结果分析，进而，从整体上基本解决该模型。 在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。在此讨论比赛中最简单、但对于胜负又很重要的一种投篮方式——罚球，并且球出手后不考虑球的旋转不 考虑球碰篮板或篮框的情形。 关键词：数学模型；投篮；出手角度、速度、高度；入射角度；允许的最大偏差；空气阻力；篮筐及篮球的直径； 一、问题的重述 Q （图1 从罚球点投篮示意图） Q v ? P ? H h L 图1为过罚球点P和篮框中心Q、且垂直于地面的平面示意图。按标准尺寸，P和Q点的水平距离L=4.60m，Q点的高度H=3.05m，篮球直径d=24.6cm，篮框直径D=45.0cm。不妨假定篮球运动员的出手高度h为1.8?2.0m，出手速度v为 1．不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中篮框心的条件，并求出在出手高度一定时(h分别为1.8和2.0m时)，球心命中篮框心的最小的出手速度以及相应的出手角度?和入射角度? 2．考虑篮球和篮框的大小（图2），讨论球心命中篮框心且球入框的条件，并检查上面得到的出手角度?和入射角度?是否满足条件。 3．考虑篮球和篮框的大小，为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（见图3）。讨论保证球入框的条件下，出手角度和出手速度允许的最大偏差（以h分别为1.8、2.0m，v为8.0m/s来计算）。 4．考虑空气阻力的影响（只考虑水平方向上的阻力），设阻力与速度成正比，比例系数为k，讨论不考虑篮球和篮框的大小时，球心命中篮框心的条件。 二、符号说明 L: 篮球的中心到蓝框中心的水平距离, L=4.60m H: 蓝框中心的高度, H=3.05m d: 球的直径, ,d=24.6cm D: 蓝框直径, D=45.0cm h: 篮球运动员出手的高度,,h=1.8~2.1m v: 投篮出手速度, v=8.0~9.0m/s g: 重力加速度,取g=9.8m/ :投篮出手角度 β: 球入蓝框的入射角度 x: 球入蓝框时球心可以偏离(前后)的最大距离,单位为厘米(cm). 三、问题分析 (1)不考虑篮球和篮筐的大小的简单情况，相当于将球视为质点的斜抛运动。将坐标原点定在球心p，列出x（水平）方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及球入篮筐处的入射角度与出手角度的关系，由此可对不同的出手速度和出手高度，计算出手角度和入射角度。 (2)考虑篮球和篮筐的大小时，篮球直径为d，篮筐直径D。显然，即使球心命中框心，若入射角β太小，球不会碰到框的近侧A，不能入框。不难得出β应该满足的、球心命中框心且球入框的条件。 (3)球入框时球心可以偏离框心，偏前的最大距离为x, x可以从入射角β算出，根据x和球心轨迹x与的关系，能够得到出手角度允许的最大偏差，出手速度v允许的最大偏差v可以类似的处理。 (4)考虑水平方向的空气阻力时，应该用微分方程求解球心的运动轨迹，由于阻力很小，可作为适当简化，然后与前面类似的作各种计算。 （篮球入框图2） d ? A Q B D （球心偏前图3） ? d A ?x Q B D 四、模型建立与求解 (1)不考虑篮球和篮筐的大小的情况，不考虑空气阻力的影响，以未出手时的球心p为坐标原点，x（水平）方向和y（竖直）方向，篮球在t