四年级奥数讲义380学子教案库第9讲竞赛123班教师版.doc

第九讲 排列组合 教学目标 教学目标 加强对排列组合知识的理解； 掌握排列组合问题的解题思路。 经典精讲 经典精讲 排列 排列 在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法。这就是排列问题。在排列的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物之间的先后顺序有关。 一般地，从个不同的元素中任取出个（）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样。如果两个排列的元素不完全相同，或者各元素的排列顺序不完全一样，则就是两个不同的排列。 从个不同元素中取出个（）元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，我们把它记做（），。当时就有，这称为个不同元素的全排列。 讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！ 讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！ 计算：⑴； ⑵ 分析：⑴； ⑵。 （年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）将、、、、、、七位同学在操场排成一列，其中学生与必须相邻。请问共有多少种不同的排列方法？ （法）七人排成一列，其中要与相邻，分两种情况进行考虑。 若站在两端，有两种选择，只有一种选择，另五人的排列共有种，所以这种情况有种不同的站法。 若站在中间，有五种选择，无论在中间何处，都有两种选择。另五人的排列共有种，所以这种情况共有种不同的站法。 所以共有种不同的站法。 （法）由于与必须相邻，可以把与当作一个整体来考虑，这样相当于个元素的全排列，另外注意、内部有种不同的站法，所以共有种不同的站法。 小明的书架上原来有本书，不重新排列，再放上本书，可以有多少种不同的放法? （法）放第一本书时，有原来的本书之间和两端的书的外侧共个位置可以选择；放第二本书时，有已有的本书之间和两端的书的外侧共个位置可以选择。同样道理，放第三本书时，有个位置可以选择。由乘法原理，一共可以有种不同的放法。 （法）原有本书，再放上本书后共有本书，相当于个位置放本书，后放上的本书有种放法，这本书放好后，剩下六个位置放原有的本书，由于原有的本书之间的顺序是确定的，所以只有种放法，根据乘法原理，共有种放法。 （年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）不重复地使用数字、、、、、，请问共可组成多少个不同的三位数偶数？ 不重复地使用数字、、、、、组成不同的三位偶数，不能为首位，且个位数字必须是偶数。当个位为时百位和十位上的数字可以从余下的个数字中任选两个进行排列，有种，由乘法原理知此时有个。当个位数字不为时，个位有种选择，百位有种选择，十位有种选择，由乘法原理知此时有个。所以共有个。 [前铺] ⑴用、、、、可以组成多少个没有重复数字的三位数? ⑵用、、、、可以组成多少个三位数？ [分析] ⑴要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题，可以组成个没有重复数字的三位数。 ⑵没有要求数字不能重复，所以不能直接用来计算，可以分步考虑，用乘法原理可得共有个。 注意“可以重复”和“没有重复”的区别！ [巩固] 用、、、、可以组成多少个没重复数字的三位数？ [分析] （法）本题中要注意的是不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从、、、这四个数字中选择一个，有种方法；十位和个位上的数字可以从余下的个数字中任选两个进行排列，有种方法。由乘法原理得，此种三位数的个数是：(个)。 （法）：从、、、、中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是的。从、、、、这五个数字中任选三个数字的排列数为，其中首位是的三位数有个。三位数的个数是：(个)。 本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素。 一栋层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停。在一楼有人进了电梯，其中至少有一人要上楼，则他们到各层的可能情况共有多少种? 每个人都可以在第层至第层中任何一层出电梯，有种情况，那么三个人一共有种情况，其中，都不到楼的情况有种。因此，至少有一人要上楼的情况有种。 某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题，每道题满分为分，给分时只能给出自然数，，，…，分。已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是，而且任意二人各题得分不完全相同，那么请问参加竞赛的最多有多少人? 将分解为不大于的三个数的乘积，有、、这三种情况。考虑到因数的先后顺序，第一种情况，有三个位置可选择，其余位置放，有种顺序；第二种情况与第一种情况相似，有种顺序；最后一种情况，有种顺序。由加法原理，一共有种顺序，所以参赛的最多有人。 [巩固] 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成