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复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式,模与辐角的概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.
二、学习要求:
1.熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化,会求复数的模、辐角及辐角主值. 2.深刻理解复数三角形式的结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3.能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值). 4.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.
三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换,复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.
四、学习建议:
1.复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁,相比之下,代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示,即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示,复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示,也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示,设其模为r,辐角为θ,则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.
代数形式r=三角形式
Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角,不一定是辐角主值.
五、基础知识
1)复数的三角形式
①定义:复数z=a+bi (a,b∈R)表示成r (cosθ+ isinθ)的形式叫复数z的三角形式。即z=r(cos θ+ isinθ)
其中 θ为复数z的辐角。
②非零复数z辐角θ的多值性。
以ox轴正半轴为始边,向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角
因此复数z的辐角是θ+2k(k∈z)
③辐角主值
表示法;用arg z 表示复数z的辐角主值。
定义:适合[0,2)的角θ叫辐角主值
唯一性:复数z的辐角主值是确定的,唯一的。
④不等于零的复数的模是唯一的。
⑤z=0时,其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。(求法)
这是复数计算中必定要解决的问题,物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算,尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容(也是解题术)复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法,辐角主值的确定是难点,也是关键存在,这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2)复数的向量表示
在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2(如图)
何量
何量
何量
与复数z2-z1对应的向量为
显然oz∥z1z2
则argz1=∠xoz1=θ1
argz2=∠xoz2=θ2
argz(z2-z1)=arg z=∠xoz=θ
3)复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
如z1=r1(cosθ1+isinθ1) z2=r2(cosθ2+isinθ2)
①乘法:z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
如图:其对应的向量分别为
显然积对应的辐角是θ1+θ2
1 若θ2 0 则由逆时针旋转θ2角模变为的r2倍所得向量便是积z1·z2=z的向量。
2 若θ2 0 则由向量顺时针旋转角模变为r1·r2所得向量便是积z1·z2=z的向量。
为此,若已知复数z1的辐角为α,z2的辐角为β求α+β时便可求出z1·z2=za z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
②除法 (其中 z2≠0)
除法对于辐角主要是“相减”(被除数的辐角一除数的辐角)依向量旋转同乘法简述如下:
1 。
2 。
例1.下列各式是否是三角形式,若不是,化为三角形式:
(1) Z1=-2(cosθ+isinθ) (2) Z2=cosθ-isinθ (3) Z3=-sinθ+icosθ
(4) Z4=-sinθ-icosθ (5) Z5=cos60°+isi
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