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* A B 如图,梅尼超市在澧水河岸的一侧有相隔一段距离的A、B两个仓库,要在河岸边建造一个码头,使它到A、B两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? 澧水河 ● ● 观察:如图,人字形屋顶的框架中,点A 与点A′关于线段CD 所在的直线l 对称,你发现线段 CD 所在的直线l 与线段AA′ 有哪些关系? ● l A A′ D 2 1 (A) ①l⊥AA′ :l 垂直AA′ ②AD=A′D:l 平分AA′ 即直线l 既垂直线段AA′,又平分线段AA′ 直线l 就叫做线段AA′ 的垂直平分线 ● ________且_______一条线段的直线叫作这条线 段的垂直平分线. 想一想: 线段是轴对称图形吗? 它的对称轴是什么? l A B C (中垂线) 线段的垂直平分线的定义: 垂直 平分 用符号语言表示:如图 ∵_______,_______ ∴直线l 是线段AA′ 的垂直平分线 线段是轴对称图形, 线段的垂直平分线是它的对称轴. l ⊥AB AC=BC N M P 探究交流: O A B ● (1)在纸上画一条线段AB,再画出线段AB的垂直平分线 MN; (2)在线段AB的垂直平分线MN上取一点P,连接PA、PB,观察 PA、PB的长度,你有什么发现? PA=PB (3)在线段AB的垂直平分线MN上再取一点Q,那么AQ、BQ还有类似的结果吗? 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。 (4)那我们再猜想一下,垂直平分线上的点到两个端点的距离有什么样的关系? N M P 探究交流: O A B ● (5)理由: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ∵直线MN是线段AB 的垂直平分线, ∴沿直线MN折叠,点A与点B重合. ∴点A与点B关于直线MN对称 从而线段PA与线段PB重合 于是PA= PB. 线段垂直平分线的性质定理: 条件:点在线段的垂直平分线上 结论:这个点到线段两端的距离相等 A B P O 学以致用 如图,在澧水河岸的一侧有相隔一段距离的A、B 两个仓库,要在河岸边建造一个码头,使它到A、 B两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? 澧水河 1.解答前面所提出的问题: ● ● 分析:(1)所建造的码头要满足几个条件? ①在河岸边 ②到A、B两个端点 的距离相等 (2)码头位置 应为河岸边与 线段AB的垂直 平分线的交点. 答:码头应 建在点P 的位置 2.如图,△ABC中,AB=9cm,AC=15cm,BC的 垂直平分线DE交AC于点D,交BC于点E, 求△ABD的周长 A B E D C 解: ∵ DE是BC的垂直平分线 ∴ BD=DC ∴ △ABD的周长 =AB+BD+AD =AB+DC+AD =AB+AC =9+15=24(cm) 方法小结:应用线段的垂直平分线性质定理可帮 助我们找到线段相等关系,即线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等. (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) B A D E C 3.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的 垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC. (1)求∠ECD的度数;(2)若CE=5,求BC长. 解(1) ∵ DE是AC的垂直平分线 ∴ EA=EC ∴ ∠ECD=∠A=36° (等边对等角) (2) ∵AB=AC ∠A=36° ∴ ∠B=∠ACB (等边对等角) = 2 _______ 1800 -360 =720 又∵∠BEC=∠A+∠ECA=72° ∴ ∠B=∠BEC ∴ BC = EC =5 (等角对等边) (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) (1)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线 分别交AB,BC于点D,E,∠B=30°, ∠BAC= 80°, 求∠CAE的度数. 4.自主练习交流: 解 ∵ DE是AB的垂直平分线 ∴ AE=BE ∴ ∠BAE=∠B=30° 又∵∠CAE+∠BAE=∠BAC ∴ ∠CAE=∠BAC-∠BAE =80°-30° =50° C A B E D (2)如图,在△ABC中,AB AC,BC边上的 垂直平分线DE交BC于点E,AC=15cm, ΔABD的周长是24cm,求AB的长. 如图,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于( ). A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 中考 试题 解析 C ∵DE是AB的垂直平分线, ∴AE=BE(线段垂直平分线
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