第1章：复数与复变函数.doc

第1章：复数与复变函数 §1 复数 一、教学目标或要求：掌握基本概念 几何应用 1.了解复数定义及其几何意义； 2.熟练掌握复数的运算； 3.知道无穷远点邻域； 4.了解单连通区域与复连通区域； 5.理解复变函数； 6.理解复变函数的极限与连续。 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：复数基本概念：复数域 复平面 模与幅角 共轭复数 几何应用 重点： 基本概念 几何应用 难点： 几何应用 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习： 习题一 1－5 §1 复数 1．复数域 形如的数，称为复数，其中为实数。实数和实数分别称为复数的实部与虚部。记为 ， 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数 和称为互为共轭复数，的共轭复数记为。 设，复数的四则运算定义为　　加（减）法： 　　乘法： 　　除法： 　　相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 ②加法结合律 ③乘法交换律 ④乘法结合律 ⑤乘法对加法的分配律 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用表示，所有复数构成的集合用表示。 例 设，求． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解　为求，在分子分母同乘，再利用，得 2．复平面 一个复数本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴. 　在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：　　　　 　　　　　这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系.3． 复数的模与辐角 向量的长度称为复数的模或绝对值，即：　　　　　　　　　易知：　　(1) 　　(2) 　　(3) 　　(4) 点与点的距离为 　　　　　　　　　 　实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足　　　　　　　　　称为复数的辐角，记为：。任一非零复数有穷多个辐角，以表其中的一个特定值，并称合条件的一个为的主值，或称之为的主辐角。有下述关系：　　　　　　　　　 复数的幅角不能唯一地确定. 如果是其中一个幅角，则 也是其幅角，把属于的幅角称为主值幅角，记为argz.　复数“零”的幅角无定义，其模为零.　　　　　　　　　　　 例 求 及 解 　　??????? 注意： 一般有两种含义，一种是指非零复数无穷多辐角中的一个，另一种是指落在之间的主辐角。具体在题目中是指哪一种含义，需要根据上下文来确定，一般是指主辐角。用极坐标r,θ代替直角坐标x和y来表示复数z.有　　　　　　　　　则复数ｚ可表示为：　——三角式　　利用欧拉公式：，复数ｚ可表示为：　　　　　　　　　　　——指数式叫做复数ｚ的模，θ称为复数ｚ的幅角，记为Ａrgz. 例 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 ； 解： 。 利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：　　　　　　　　　　所以有　　　　　 　　　　还可以得出三角不等式　　　　　　　　　例 求复数的模． 解　令，有 由共轭复数的运算结果得 4．复数的乘幂与方根 对于非零复数，非零复数ｚ的整数次幂为　　　　　　　　　　　当r＝１时, 则得棣摩弗公式 由此易知　　　　　　　　　 　非零复数ｚ的整数次根式为　　　k=0,1,2,…，n-1.　 对于给定的可以取n个不同的值，它们沿中心在原点，半径为的圆周而等距地分布着. 例 求． 解　，故有 例 设，求． 解　因，故．于是，的四个四次方根为 例 求z3?8?0的所有根. 解? 1) (k?0? 1? 2)? 即 ? ?2? ? 例 计算 解 故 　 　　 故 5．共轭复数 复数称为 的共轭复数，记为。称为的模，记为。一个复数的共轭复数为 共轭复数满足 例 求复数（复数）的实部、虚部和模。 解： 所以 ， 例 若，试证： 。 解： 然而 即 。 6．复数在几何上的应用举例 (1) 曲线的复数方程(略) (2) 应用复数证明几何问题(略)。