01第一讲__极限及其相关问题.doc

第一讲 函数、极限与连续 考纲要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限. 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 一、函数 问题1 如何求函数的定义域？ 答 求定义域的步骤是： ⑴根据运算要求（如分式要求分母不等于零，开偶次方要求被开方数大于等于零，对数 SKIPIF 1 < 0 要求真数 SKIPIF 1 < 0 ，反正弦 SKIPIF 1 < 0 要求 SKIPIF 1 < 0 等）列不等式（组） ⑵解不等式（组） 例 ⑴已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的定义域； ⑵设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的定义域. 问题2 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，如何求复合函数 SKIPIF 1 < 0 ？ 答 用代入法，即以 SKIPIF 1 < 0 代替 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 ，就可以求出 SKIPIF 1 < 0 . 例 ⑴已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ； ⑵设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 . 问题3 已知复合函数 SKIPIF 1 < 0 ，如何求函数 SKIPIF 1 < 0 ？ 答 用换元法，即令 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，就可以求出 SKIPIF 1 < 0 . 例 ⑴已知 SKIPIF 1 < 0 ， 求 SKIPIF 1 < 0 ； ⑵设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 . 问题4 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，如何求其反函数？ 答 求反函数的步骤是：先由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，再交换 SKIPIF 1 < 0 ，得其反函数 SKIPIF 1 < 0 . 例 ⑴求 SKIPIF 1 < 0 的反函数； ⑵求 SKIPIF 1 < 0 的反函数 SKIPIF 1 < 0 . 问题5 如何将 SKIPIF 1 < 0 表示成分段函数的形式？ 答 关键是找出分段函数的分段点， SKIPIF 1 < 0 的分段点是使 SKIPIF 1 < 0 的点， SKIPIF 1 < 0 的分段点是使 SKIPIF 1 < 0 的点， SKIPIF 1 < 0 的分段点是使 SKIPIF 1 < 0 取整数的点， SKIPIF 1 < 0 的分段点是使 SKIPIF 1 < 0 的点. 例 将下列函数表示成分段函数： ⑴ SKIPIF 1 < 0 ； ⑵ SKIPIF 1 < 0 . 问题6 叙述函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义. 答 ⑴有界性：设函数 SKIPIF 1 <