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专题018:变化率与导数、导数的运算(教学设计)(师)
?考点要求:
1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.
2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导.
3.本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.
知识结构:
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为eq \f(f?x2?-f?x1?,x2-x1).
若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为eq \f(Δy,Δx).
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)导数的概念:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
SKIPIF 1 0
我们称它为函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 出的导数,记作 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ,即
SKIPIF 1 0
说明:(1)导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
(2) SKIPIF 1 0 ,当 SKIPIF 1 0 时, SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
3.函数f(x)的导函数
称函数 SKIPIF 1 0 为f(x)的导函数,导函数有时也记作y′.
4.基本初等函数的导数公式
若f(x)=c,则f′(x)=0;
若f(x)=xα(α∈R),则f′(x)=αxα-1;
若f(x)=sin x,则f′(x)=cos x;
若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x;
若f(x)=ax(a0,且a≠1),则f′(x)=axln_a;
若f(x)=ex,则f′(x)=ex;
若f(x)=logax(a0,且a≠1),则f′(x)=eq \f(1,xln a);
若f(x)=ln x,则f′(x)=eq \f(1,x).
5.导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′=eq \f(f′?x?g?x?-f?x?g′?x?,[g?x?]2) (g(x)≠0).
**6.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.
7.一个区别
曲线y=f(x)“在”点P(x0,y0)处的切线与“过”点P(x0,y0)的切线的区别:
曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,若切线斜率存在时,切线斜率为k=f′(x0),是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点,点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
8/两种法则
(1)导数的四则运算法则.
**(2)复合函数的求导法则.
9.三个防范
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别.
**3.正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到不重不漏.
基础自测:
1.下列求导过程中
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′=-eq \f(1,x2);②(eq \r(x))′=eq \f(1,2\r(x));③(logax)′=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln x,ln a)))′=eq \f(1,xln a);④(ax)′=(eln ax)′=(exln a)′=exln aln a=axln a
其中正确的个数是( D ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( ).
A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)
解析 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).答案 C
3.(2011·湖南)曲线y=eq \f(sin x,sin x+cos x
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