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华南农业大学期末考试试卷(A卷)
2010--2011学年第 1 学期 考试科目: 高等数学AⅠ参考答案
一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
1.当时,与是等价无穷小,则常数=。
2.若,则常数=。
3.设,则=。
4.曲线的水平渐近线是。
5.设, 则。
二、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
1.函数在区间上满足拉格朗日中值定理的有
条件,则满足拉格朗日中值定理结论中的是 ( B )
A. B. C. D.
2.函数的拐点是 ( B )
A. B. C. D.
3.如果,则 ( D )
A. B. C. D.
4.下列广义积分收敛的是 ( C )
A. B.
C. D.
5.考虑一元函数有下列四条性质:
(1)在 连续 (2)在 可积
(3)在 可导 (4)在 存在原函数
若用“”表示可由性质推出性质,则有碍 ( C )
A. B.
C. D.
三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分)
1.求极限 。
解:…………………(2分)
………………(4分)
…………(6分)
………………………………(7分)
2.设函数在处连续,求与的值。
解:
3.计算定积分 。
解:令,则,…………………(2分)
=…………………(4分)
…………………(5分)
…………………(6分)
…………………(7分)
4.设是由方程所确定的隐函数,求。
解:方程两边关于求导,得
…………………(2分)
…………………(4分)
…………………(6分)
所以,…………………(7分)
5.设函数由参数方程 所确定,求。
解:…………………(3分)
…………………(7分)
6.计算定积分 。
解:…………………(1分)
…………………(3分)
…………………(5分)
…………………(6分)
…………………(7分)
7.求不定积分 。
解:令,则,,…………………(2分)
…………………(4分)
…………………(6分)
…………………(7分)
四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)
1.证明不等式:当时,。
证明:设…………………(2分)
则…………………(4分)
所以单调递增,…………………(6分)
于是,得。 ………………………… (7分)
2.设函数
(1)求的极值点与极值。
(2)求证:时,恰有三个实根。
解:(1)解,得,…………………(1分)
又
,…………………(2分)
所以当时,取得极小值,,…………………(3分)
所以当时,取得极大值,。…………………(4分)
(2)考察区间
当时,…………………(5分)
又,…………………(6分)
所以在以上三区间中个有一个实根。…………………(7分)
3.求区间内的一点,使该点上曲线的切线与直线,及所围平面图形的面积最小。
解:设切点为,又,所以切线斜率为,…………………(1分)
因此切线方程为…………………(2分)
所以…………(4分)
令,得,…………………(5分)
又,…………………(6分)
所以时图形的面积最小。…………………(7分)
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