-1导数的概念.ppt

求函数极限 四 可导与连续的关系 例2. * * 例1、瞬时速度 已知物体作变速直线运动, 运动方程为s＝s(t) (ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度． 如图 设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0, 在时刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1, 则从t0 到 t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是: 在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为: 平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,即需要通过瞬时速度来反映. 如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内，当 Δt?0 时平均速度: 例2、曲线的切线 β y=f(x) P Q M Δx Δy O x y β P y=f(x) Q M Δx Δy O x y 如图,曲线C是函数y=f(x)的图象 P(x0,y0)是曲线C上的任意一点, Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点, PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角. P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 请看当 点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 当点Q沿着曲线无限接近点P 即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT. 为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 14-1导数的概念 一 导数的概念 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义, 当自变量x在点x0处有改变量Δx时 函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0). 如果当Δx?0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率) 记作 即: 练习： p71 练习1 存在，则称 f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别 注1. 若 注2.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导，则称 f (x)在(a, b)内可导.这个极限称为y = f (x)的导函数. 　　此时，每一个x?(a, b)都有唯一确定的值f ‘(x)与之对应，所以导函数是x的函数，一般简称导数。 求导数步骤： (1) 求增量 ?y=f (x+?x) ?f (x) (2) 算比值 (3) 取极限 二、求导举例 例1. 求 y = 2 (常数)的导数. 解：(1) ?y = f (x+?x) ?f (x) = 2 ?2 = 0 (3) 故C = 0, 即常数的导数为0. (2) 例2. 设 y = f (x) = x2，求f (x). f (4). 解：(1) ?y = f (x+?x) ?f (x) = (x+?x)2 ? x2 (2) (3) f (4)= 练习： 设 y = f (x) = x3，求f (x). f (3). 练习： p73 练习2 例3 求下列函数的导数。 (C ) = 0 例 :求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M D y D x 因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率, 然后利用点斜式求切线方程. 三.导数的几何意义 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: 例:求曲线 在点(4,2）处的切线方程。 复习 结论：函数在一点处连续的充要 条件是既左连续又右连续 o x0 x y 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 注：反之不成立， 即函数在某一点连续,但不一定在此点可导。 证明： 可导、连续、极限之间的关系： 可导 连续 极限存在 解： 极限不存在 例. 可导的几何形式------曲线是光滑的.