高三数学一轮复习——平面向量公式总结.doc

精华在线官方微博：/jinghuaonline 高三数学一轮复习——平面向量公式总结 定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。a//b的重要条件是 xy-xy=0。 零向量平行于任何向量。向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 a?b=0。 设a=(x，y)，b=(x，y)。a⊥b的充要条件是 xx+yy=0。 零向量垂直于任何向量.? ?? ???1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x，y+y)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).? ?? ?? ?3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ0时，λa与a同方向; 当λ0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。4、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x+y?y。向量的数量积的运算律a?b=b?a(交换律);(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的数量积的性质a?a=|a|的平方。a⊥b 〈=〉a?b=0。|a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c。3、|a?b|≠|a|?|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。5、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a‖b〈=〉a×b=0。向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号; ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、∣∣a∣-∣b∣∣≤