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第六届北方数学奥林匹克邀请赛试卷
第 一 天
(2010年8月
注:本试卷共四道题,每题25分,满分100分.
一、(25分)已知数列满足求通项.
二、(25分)如图,、是的切线,切点分别是、,过点的割线与交于两点,过点作的平行线,分别交弦、于点、.求证:.
三、(25分)求所有的正整数组,使得成立.
四、(25分)如图,在的方格表的64个网格线交点处放置棋子,每点至多放1枚,一共放了枚棋子.若无论怎样放,总存在4枚棋子,它们所在网格点构成一个矩形(矩形的边平行于网格线)的四个顶点. 试求的最小值.
第 二 天
(2010年8月7日 8:40 —11:40)
注:本试卷共四道题,每题25分,满分100分.
五、(25分) 设正实数满足,求证:.
六、(25分) 如图,是的内切圆,、、是切点,连并延长交于,连并延长交于.求证:是的中点.
七、(25分) 求满足条件
,, 的所有正整数组.
其中记号、分别表示正整数、的最小公倍数和最大公约数.
八、(25分) 设 且, ,,求
的最小值和最大值.
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